这是一个标量场、旋量场、和矢量场的自由场方程的简单汇总。首先写出场的Lagrangian，然后代入Eular-Lagrange equation求得对应的场方程。
Eular-Lagrange equation： \( \partial _{\mu }\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu} \psi)} – \frac{\partial {\cal L}}{\partial \psi}=0 \)。
标量场 (Klein-Gordon 场; 用于描述自旋为零的粒子):
$${\cal L}_{K-G}=\frac{1}{2}(\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2})$$
$$(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi =0$$
旋量场 (Dirac 场; 用于描述自旋-1/2的费米子，如：电子、质子、夸克等粒子。狄拉克场描述的粒子存在反粒子):
$${\cal L}_{Dirac}=\bar{\psi }(i/\kern-0.60em \partial -m)\psi $$
$$(i/\kern-0.60em \partial -m)\psi =0,\ i\partial _{\mu}\bar{\psi} \gamma ^{\mu }+m\bar{\psi}=0$$
$$where \ \bar{\psi }=\psi ^{+}\gamma ^{0},/\kern-0.60em \partial =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$$
旋量场(Majorana 场; 描述的粒子即为自身的反粒子): 略
矢量场 (Maxwell场+规范固定项):
$${\cal L}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-\frac{\lambda}{2}(\partial_{\mu}A^{\mu})^2$$
$$\partial_{\mu}\partial^{\mu}A^{\nu}-(1-\lambda)\partial^{\nu}(\partial_{\sigma}A^{\sigma})=0$$
$$where \ F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$
下面是一些曾经遇到的散射。随便记记，不想另外开贴了，借此宝地。对应的费曼图我不整理了。反正以后也没机会用到了…前三个是QED反应；\(\gamma\) 是光子。
$$e^{+}e^{-}\rightarrow 2\gamma$$
$$e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-} \ (Møller\ scattering)$$
$$e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}\rightarrow \ (BhabBha\ scattering)$$
$$e^{-}\gamma \rightarrow e^{-}\gamma \ (Compton \ scattering)$$
$$e^{-}\mu^{-} \rightarrow e^{-}\mu^{-}$$
$$e^{+}e^{-}\rightarrow u^{+}u^{-}$$