在日常生活中，我们很容易判断一个物体是不是弯的：弯曲的铁丝、卷起的纸张、起伏的山坡，都给人一种“弯曲”的直观感觉。
然而，数学中的“曲率”并不只有一种。对于广义相对论而言，更重要的是区分两类不同的曲率：外蕴曲率和内蕴曲率。
从牛顿的万有引力定律到爱因斯坦的时空弯曲，引力的图像发生了根本改变。因此，认识引力，需要从最基本的“弯曲”直觉出发，建立广义相对论中曲率、场方程与引力的完整链条。本文第一章区分外蕴曲率与内蕴曲率，说明广义相对论为什么只需要内蕴曲率。第二章引入描述内蕴曲率的数学工具：度规定义距离，协变导数定义弯曲空间中的微分，平行移动与测地线建立几何图像，最终给出黎曼曲率张量的定义，并说明截面曲率与不同维数下的曲率计数。第三章通过缩并将黎曼张量分解为 Ricci 部分（体积变化）与 Weyl 部分（形状畸变）。第四章构造爱因斯坦张量。第五章引入能量—动量张量，建立爱因斯坦场方程，并给出宇宙中辐射、物质与暗能量的具体形式。第六章讨论场方程的牛顿极限，说明万有引力定律只是弱场低速下的近似，并回到“引力是时空几何”的物理图像。
本文面向已学完高等数学、但未系统接触微分几何的读者。由于水平有限，如有错误，欢迎指正。由于时间有限，全文未补充插图。
第一章 内蕴曲率与外蕴曲率
在日常生活中，我们很容易判断一个物体是不是弯的：弯曲的铁丝、卷起的纸张、起伏的山坡，都给人一种“弯曲”的直观感觉。 然而，数学中的“曲率”并不只有一种。对于广义相对论而言，更重要的是区分两类不同的曲率：外蕴曲率和内蕴曲率。 外蕴曲率描述的是一个几何对象在更高维空间中弯曲的程度，必须借助外部空间才能定义。 内蕴曲率描述的是几何对象自身的弯曲性质，它完全由对象内部的测量决定，不依赖外部空间是否存在，也不依赖它如何嵌入到更高维空间中。1.1 平面曲线的曲率
对于一条平面曲线，每一点都可以作一个与曲线最贴合的圆，称为密切圆。密切圆的半径记为 \(R\)，则曲率定义为：\[ \kappa=\frac{1}{R}. \tag{1-1} \]
半径越小，曲线弯得越厉害；半径越大，曲线越平缓。
由于密切圆必须定义在曲线所在的平面中，曲线“朝哪一侧弯曲”也必须站在外部空间观察，因此这种曲率属于外蕴曲率。
1.2 二维曲面的曲率
对于二维曲面，情况比平面曲线复杂得多。曲面上一点可以经过无穷多条不同方向的曲线，每条曲线都有自己的曲率，因此单独某一条曲线的曲率已经不能代表整个曲面的弯曲程度。
为了描述曲面的弯曲，人们采用下面的方法。
首先，在曲面上一点 \(P\) 取单位法向量 \(\mathbf n\)。经过 \(\mathbf n\) 作不同方向的截面，截面与曲面的交线称为法截线，它们分别具有不同的法曲率，记为 \(\kappa_n\)。
随着截面绕法线连续旋转，法曲率也不断变化。其中最大值称为第一主曲率 \(\kappa_1\)，最小值称为第二主曲率 \(\kappa_2\)。欧拉定理表明，这两个方向彼此垂直。
因此，一个曲面在一点的弯曲性质，可以用两个主曲率来描述。通常，人们最关心的是由它们构成的两个量：高斯曲率
\[ K=\kappa_1\kappa_2, \tag{1-2} \]
和平均曲率。
\[ H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}. \tag{1-3} \]
典型曲面的主曲率和高斯曲率见表1-1。
表1-1 典型曲面的主曲率与高斯曲率
| 曲面 | \(\kappa_1,\kappa_2\) | \(K\) |
|---|---|---|
| 球面（半径 \(R\)） | \(1/R,\;1/R\) | \(1/R^2\gt 0\) |
| 圆柱面 | \(1/R,\;0\) | \(0\) |
| 平面 | \(0,\;0\) | \(0\) |
| 马鞍面 | 一正一负 | \(\lt 0\) |
造成这种差别的原因，在于二者是否能够不经过拉伸或压缩而变形成另一种曲面。一张平纸可以直接卷成圆柱面，整个过程中纸面既没有被拉长，也没有被压短，因此平面与圆柱面具有相同的高斯曲率，均为零。而球面无论怎样变形，都无法完整地展开成平面而不发生拉伸或压缩。这也是地图绘制时不可避免会产生形状、面积或距离失真的根本原因。
1.3 内蕴曲率与外蕴曲率
由此可以发现，有些曲率会随着几何对象放置方式的改变而改变，而有些曲率却始终保持不变。像曲线的曲率、曲面的主曲率、平均曲率等，都依赖于几何对象如何嵌入到更高维空间中，因此属于外蕴曲率。
而高斯曲率只由曲面内部的距离、角度等几何关系决定，与外部空间无关。即使生活在曲面上的二维生物永远无法离开曲面，它们也能够仅凭曲面上的测量确定高斯曲率，而不需要知道自己所处的空间是什么样子。这种完全由几何对象自身决定的曲率，称为内蕴曲率。
广义相对论中的引力正是由这种内蕴曲率来描述的，而不是由外蕴曲率来描述。
第二章 内蕴曲率的数学描述
对于二维曲面，一个高斯曲率 \(K\) 就足以描述全部内蕴曲率信息；但到了三维、四维甚至更高维空间，一个数已经不足以描述所有方向上的弯曲情况，需要一种能够同时记录各个方向曲率信息的数学对象。这一章介绍建立这一数学对象所需的基本工具，包括张量、缩并、度规、协变导数、平行移动和测地线，并最终给出任意维空间内蕴曲率的完整数学描述——黎曼曲率张量。
2.1 张量
在弯曲空间中，许多几何量不能用一个数表示，需要用一组带指标的分量表示。这样的对象统称为张量。张量按指标个数和位置分为 \((p,q)\) 型：\(p\) 个上指标，\(q\) 个下指标，上、下指标总数 \(p+q\) 称为张量的阶。在 \(n\) 维空间中，每个指标取 \(1,\cdots,n\)（四维时空取 \(0,1,2,3\)），一个 \((p,q)\) 型张量共有 \(n^{p+q}\) 个分量。常见例子见表2-1。
表2-1 常见张量的类型
| 类型 | 名称 | 例子 |
|---|---|---|
| \((0,0)\) | 标量 | 高斯曲率 \(K\) |
| \((1,0)\) | 向量 | 位移 \(dx^\mu\)、速度 \(u^\mu\) |
| \((0,1)\) | 余向量（对偶向量） | 梯度 \(\partial_\mu\varphi\) |
| \((0,2)\) | 二阶协变张量 | 度规 \(g_{\mu\nu}\) |
| \((1,3)\) | 混合张量 | 黎曼曲率张量 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) |
设坐标由 \(x^\mu\) 换为 \(x’^\mu\)。坐标微分按链式法则变换：
\[ dx’^\mu=\frac{\partial x’^\mu}{\partial x^\nu}\,dx^\nu . \tag{2-1} \]
凡分量按同样方式变换的对象，指标写在上边，称为逆变：
\[ V’^\mu=\frac{\partial x’^\mu}{\partial x^\nu}\,V^\nu . \tag{2-2} \]
而标量场的梯度按另一方向的链式法则变换：
\[ \frac{\partial \varphi}{\partial x’^\mu} =\frac{\partial x^\nu}{\partial x’^\mu}\,\frac{\partial \varphi}{\partial x^\nu}. \tag{2-3} \]
凡分量按这种方式变换的对象，指标写在下边，称为协变：
\[ \omega’_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial x’^\mu}\,\omega_\nu . \tag{2-4} \]
注意两个变换矩阵互为逆矩阵，这正是“上指标求和下指标”能保证结果不依赖坐标系的原因：两种变换效果恰好抵消，例如 \(V^\mu\omega_\mu\) 在坐标变换下不变。
一个直观的例子：把坐标放大两倍，\(x’^\mu=2x^\mu\)。此时位移的分量也放大两倍，\(dx’^\mu=2dx^\mu\)；但梯度的分量缩小一半，\(\partial\varphi/\partial x’^\mu=(1/2)\partial\varphi/\partial x^\mu\)——因为单位坐标对应的实际距离变大了，“每单位坐标的变化率”自然变小。前者是逆变，后者是协变。
两类指标不能随意互换，升、降指标必须借助度规完成（见2.3节）。
本书采用爱因斯坦求和约定：同一项中成对出现的一个上指标和一个下指标，默认对其求和，求和号省略：
\[ \mathbf V=V^\rho\mathbf e_\rho\equiv\sum_\rho V^\rho\mathbf e_\rho, \qquad ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\equiv\sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu . \tag{2-5} \]
成对出现的指标称为哑指标，可任意改名；只出现一次的指标称为自由指标，等式两边的自由指标必须一一对应。
2.2 缩并
缩并是把一个上指标和一个下指标取成相同并求和的操作，它使张量的阶数降低两阶。例如，对于一个 \((1,1)\) 型张量 \(A^\rho_{\ \sigma}\)，把 \(\rho\) 与 \(\sigma\) 取成相同并求和，就得到一个标量：
\[ A=A^\sigma_{\ \sigma}. \tag{2-6} \]
缩并是从高阶张量中提取压缩信息的标准手段。后面将看到，Ricci 张量和 Ricci 标量都是由黎曼曲率张量缩并得到的。
2.3 度规
度规张量 \(g_{\mu\nu}\) 给出相邻两点之间微小位移 \(dx^\mu\) 对应的距离平方：\[ ds^2=g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu. \tag{2-7} \]
它相当于地图上的比例尺，只是在弯曲空间中，这个比例尺随位置和方向变化。\(g_{\mu\nu}\) 是对称的，即 \(g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}\)。
\(g_{\mu\nu}\) 的逆矩阵记为 \(g^{\mu\nu}\)，满足：
\[ g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}=\delta^\mu_{\ \rho}. \tag{2-8} \]
利用度规可以把指标降下或升上：
\[ V_\mu=g_{\mu\nu}V^\nu,\qquad V^\mu=g^{\mu\nu}V_\nu. \tag{2-9} \]
2.4 协变导数
在弯曲空间中，各点的坐标基矢 \(\mathbf e_\rho\) 一般随位置改变。普通偏导数 \(\partial_\mu\) 只对向量的分量求导，不能反映基矢的变化，因此无法正确比较不同点的向量。设向量场写成：
\[ \mathbf V=V^\rho\,\mathbf e_\rho. \tag{2-10} \]
沿 \(x^\mu\) 方向求导时，由乘积法则可得：
\[ \nabla_\mu\mathbf V=(\partial_\mu V^\rho)\,\mathbf e_\rho+V^\sigma(\nabla_\mu\mathbf e_\sigma). \tag{2-11} \]
第一项表示向量分量的变化，第二项表示坐标基矢随位置变化产生的贡献。
由于基矢的导数仍然是一个向量，可以重新展开为：
\[ \nabla_\mu\mathbf e_\sigma=\Gamma^\rho_{\ \sigma\mu}\,\mathbf e_\rho, \tag{2-12} \]
其中 \(\Gamma^\rho_{\ \sigma\mu}\) 称为联络（Christoffel 符号），表示沿 \(x^\mu\) 方向移动时，基矢 \(\mathbf e_\sigma\) 在 \(\mathbf e_\rho\) 方向上的变化率。
代入上式，得到协变导数的分量形式：
\[ \nabla_\mu V^\rho=\partial_\mu V^\rho+\Gamma^\rho_{\ \sigma\mu}V^\sigma. \tag{2-13} \]
因此，协变导数既考虑了分量的变化，也考虑了基矢的变化，其结果仍然是一个张量。
需要注意的是，联络不是曲率。联络依赖于坐标系的选择：在欧氏平面的直角坐标系中 \(\Gamma=0\)，而在极坐标系中 \(\Gamma\ne0\)，尽管空间本身同样是平直的。当空间存在真正的弯曲时，任何坐标变换都无法使所有点的联络同时为零，此时只有内蕴曲率才能描述几何的本质。
2.5 平行移动
平行移动是让向量沿一条路径移动、并在沿途保持与自身平行的操作。设曲线为 \(x^\mu(\lambda)\)，其切向量为 \(u^\mu=dx^\mu/d\lambda\)。向量 \(V^\rho\) 沿曲线平行移动的定义是：它沿曲线方向的协变导数为零：
\[ u^\mu\nabla_\mu V^\rho=0. \tag{2-14} \]
在平面上，平行移动的结果与路径无关：把向量从 A 移到 B，无论走哪条路，得到的向量方向相同。在曲面上则不同：在球面上沿不同路径把同一向量从 A 移到 B，得到的向量方向不同。
平行移动的路径依赖性，是内蕴弯曲的直接表现。2.7节将利用这一性质给出黎曼曲率的定义。
2.6 测地线
平直空间中的直线有两个等价性质：它是两点之间距离最短的路径，也是方向始终保持不变的路径。把这两条性质推广到弯曲空间，就得到测地线的两种等价定义。从距离上看，连接两点的所有路径中，长度取极值的路径称为测地线。从方向上看，测地线是其切向量沿自身平行移动的曲线：曲线上每一点的速度方向，都恰好是前一点速度方向平行移动的结果。
第二种定义可以直接写成方程。设曲线为 \(x^\mu(\lambda)\)，切向量为 \(u^\mu=dx^\mu/d\lambda\)。要求切向量沿曲线自身平行移动：
\[ u^\nu\nabla_\nu u^\mu=0. \tag{2-15} \]
代入协变导数的分量形式，得到测地线方程：
\[ \frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2} +\Gamma^\mu_{\ \nu\rho}\frac{dx^\nu}{d\lambda}\frac{dx^\rho}{d\lambda}=0. \tag{2-16} \]
第一项是“加速度”，第二项是联络对坐标基矢变化的修正。在平直空间的直角坐标系中 \(\Gamma=0\)，方程退化为 \(d^2x^\mu/d\lambda^2=0\)，其解就是直线，即直线是平直空间中的测地线。
可见，测地线可以看作“加速度为零的曲线”——它是自由粒子在不受任何力时的运动轨迹。
平面上的测地线是直线，球面上的测地线是大圆。例如，跨洋航班的航线在地图上看似弯曲，实际上沿的正是球面上的大圆，即球面的测地线；航线“弯曲”不是飞机的转向，而是地球表面自身弯曲的表现。
在广义相对论中，这一图像成为引力的基本图景：自由下落的粒子沿时空中的测地线运动，有质量天体的作用是改变时空的弯曲程度，从而改变测地线的形状，而不是对粒子施加一个力。引力的“作用”全部转移到了时空几何之中。光的轨迹同样是测地线（类光测地线），这是光线在引力场中偏折的几何来源。
2.7 黎曼曲率张量
把一个向量 \(\mathbf V\) 先沿 \(\mu\) 方向平行移动、再沿 \(\nu\) 方向平行移动，与颠倒次序后的结果一般不同。两种次序的差可以写成：\[ (\nabla_\mu\nabla_\nu-\nabla_\nu\nabla_\mu)V^\rho=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}V^\sigma. \tag{2-17} \]
这就是黎曼曲率张量 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 的定义。两种次序对应沿一个小平行四边形的两条不同路径，它们的差就是绕回路一周后向量的变化。
等号右端不含 \(V\) 的导数，说明 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 只与该点有关，与被移动的向量及移动方式无关。也就是说，\(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 是空间在该点的固有属性，即内蕴曲率。
\(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 各指标的含义见表2-2。
表2-2 黎曼曲率张量 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 的指标含义
| 指标 | 含义 |
|---|---|
| \(\sigma\) | 被平行移动向量的原始分量 |
| \(\mu\) | 回路第一条边的方向 |
| \(\nu\) | 回路第二条边的方向 |
| \(\rho\) | 平行移动后产生变化的分量 |
\[ R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=-R^\rho_{\ \sigma\nu\mu}. \tag{2-18} \]
特别地，当 \(\mu=\nu\) 时，回路面积为零：
\[ R^\rho_{\ \sigma\mu\mu}=0. \tag{2-19} \]
此外，平行移动保持向量的长度不变，因此向量的变化只能出现在与原向量垂直的方向上：
\[ R^\rho_{\ \rho\mu\nu}=0. \tag{2-20} \]
2.8 闭合回路公式
上节的定义可以转化为更直观的几何图像。在点 \(P\) 取两个无穷小位移 \(\delta x^\mu\) 和 \(\delta x^\nu\)，它们张成一个无穷小平行四边形。到达对角点有两条路径：先沿 \(\mu\) 后沿 \(\nu\)，或先沿 \(\nu\) 后沿 \(\mu\)。两条路径首尾相接，便构成一个无穷小闭合回路。
由于协变导数不可交换，沿两条路径平行移动的结果一般不同，其差为：
\[ \Delta V^\rho=(\nabla_\mu\nabla_\nu-\nabla_\nu\nabla_\mu)V^\rho\,\delta x^\mu\delta x^\nu. \tag{2-21} \]
代入黎曼曲率张量的定义公式（2-17），可得闭合回路公式：
\[ \Delta V^\rho=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}V^\sigma\,\delta x^\mu\delta x^\nu. \tag{2-22} \]
这就是黎曼曲率张量的闭合回路公式，公式中各量的含义见表2-3。
表2-3 闭合回路公式中各量的含义
| 量 | 含义 |
|---|---|
| \(\Delta V^\rho\) | 向量绕回路平行移动一周后的变化量 |
| \(V^\sigma\) | 被平行移动的原向量 |
| \(\delta x^\mu\delta x^\nu\) | 回路的无穷小面积元 |
| \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) | 单位面积产生的向量变化率 |
回路越小，公式（2-22）越精确；对于有限大小的回路，需要沿路径逐点积分。若空间是平直的，则 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=0\)，于是 \(\Delta V^\rho=0\)，平行移动与路径无关。
2.9 截面曲率
在一点固定两个方向 \(\mu\) 和 \(\nu\)，它们张成一个二维截面。向量沿截面内的无穷小闭合回路平行移动一圈，变化由黎曼曲率张量给出。变化中留在截面内的部分，刻画这个截面自身的弯曲程度——这就是截面曲率。
由2.8节可知，变化量正比于回路面积，所以截面曲率就是单位面积上的向量变化率：
\[ K(u,v)=\frac{R_{\mu\nu\rho\sigma}\,u^{\mu}v^{\nu}u^{\rho}v^{\sigma}}{(u\cdot u)(v\cdot v)-(u\cdot v)^{2}}. \tag{2-23} \]
分母是两方向张成的平行四边形面积的平方。取基矢量 \(\mathbf e_\mu\)、\(\mathbf e_\nu\)，上式化为：
\[ K_{\mu\nu}=\frac{R_{\mu\nu\mu\nu}}{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}}. \tag{2-24} \]
在正交归一基中，\(g_{\mu\mu}=\pm1\)，取度规号差 \((-,+,+,+)\)。于是有：
\[ K_{ij}=R^{i}_{\ jij},\qquad K_{0i}=R^{0}_{\ i0i}=-R^{i}_{\ 0i0}\qquad(\text{不求和}). \tag{2-25} \]
对二维曲面，只有一个截面，截面曲率就是高斯曲率：
\[ K=\frac{R_{1212}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}\quad\xrightarrow{\text{正交归一基}}\quad K=R^{1}_{\ 212}. \tag{2-26} \]
所以黎曼曲率张量是高斯曲率在高维的推广：\(R^\mu_{\ \nu\mu\nu}\) 型分量给出各截面的弯曲，其余分量描述截面之间的耦合，合起来构成全部曲率信息。
2.10 不同维数下的曲率
一维空间只有一个方向，无法张成二维面积，因此不存在闭合回路：\[ \Delta V^\rho\equiv0. \tag{2-27} \]
故一维空间的内蕴曲率恒为零。这也说明第一章中曲线的曲率 \(\kappa=1/R\) 属于外蕴曲率，而不是曲线自身的内蕴曲率。
对于二维曲面，希腊字母只取1、2。在正交归一坐标下，非零分量只有：
\[ R^1_{\ 212}=K,\qquad R^2_{\ 112}=-K, \tag{2-28} \]
即二维曲面的全部内蕴曲率信息就是一个数 \(K\)。此时闭合回路公式变为：
\[ \Delta V^1=K V^2\,\delta x^1\delta x^2,\qquad \Delta V^2=-K V^1\,\delta x^1\delta x^2. \tag{2-29} \]
向量的变化始终垂直于原向量，其大小正比于高斯曲率和回路面积。
在 \(n\) 维空间，黎曼曲率张量共有 \(n^4\) 个分量，但由于各种对称性，独立分量只有：
\[ \frac{n^2(n^2-1)}{12}. \tag{2-30} \]
以广义相对论的四维时空为例，坐标通常记为：
\[ x^\mu=(t,x,y,z), \tag{2-31} \]
即 \(\mu=0,1,2,3\)，其中0表示时间方向，1、2、3表示空间方向。此时独立分量共有：
\[ \frac{4^2(4^2-1)}{12}=20. \tag{2-32} \]
其中，形如 \(R^\mu_{\ \nu\mu\nu}\) 的分量对应各坐标二维截面的截面曲率。四维时空共有6个坐标截面，因此共有6个这样的分量。它们可以粗略分为两类：纯空间分量 \(R^i_{\ jij}\)（\(i,j=1,2,3\)），对应空间二维截面的弯曲程度；时间—空间分量 \(R^0_{\ i0i}\)，描述时间—空间截面的曲率，在广义相对论中它们与潮汐加速度直接相关，决定邻近自由落体之间的相对加速度（真空中的潮汐效应由哪部分曲率承担，见3.3节）。
其余14个独立分量不直接对应某一坐标截面的曲率。例如，\(R^1_{\ 312}\) 表示一个沿3方向的向量，在由1、2两个方向张成的无穷小回路中平行移动一周后，出现在1方向变化的比例系数。它们描述不同方向之间的耦合，与截面曲率一起构成四维时空全部的曲率信息。
第三章 曲率信息的压缩
黎曼曲率张量在四维时空中有20个独立分量。这20个分量中，混杂着两种物理上截然不同的效应：体积变化与形状畸变。把一团呈小球状分布的自由下落粒子放开，它既会整体膨胀或收缩，也会被拉成椭球。数学上有一种操作能把这两种效应干净地分开：按缩并分类，缩并不为零的部分依次给出 Ricci 张量和 Ricci 标量，承担体积变化；缩并恒为零的部分是 Weyl 张量，承担形状畸变。本章依次介绍这三者。
3.1 Ricci 张量
把黎曼曲率张量的第一个指标与第三个指标缩并，得到 Ricci 张量：\[ R_{\mu\nu}=R^\sigma_{\ \mu\sigma\nu}. \tag{3-1} \]
Ricci 张量是一个二阶对称张量：
\[ R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}, \tag{3-2} \]
因此它在四维时空中有10个独立分量。
黎曼曲率张量记录每一个二维截面的详细曲率信息，Ricci 张量则把这些信息按方向累加，保留的是总体效应，不再区分每个截面的具体贡献。
先看对角分量。以 \(R_{11}\) 为例：
\[ R_{11}=R^0_{\ 101}+R^1_{\ 111}+R^2_{\ 121}+R^3_{\ 131}. \tag{3-3} \]
由于 \(R^1_{\ 111}=0\)，求和实际上只有三项。这三项分别对应三个包含1方向的二维截面：\((0,1)\) 时间—空间截面、\((1,2)\) 空间截面和 \((1,3)\) 空间截面。因此，在正交归一坐标下，对角分量 \(R_{\mu\mu}\) 表示所有包含 \(\mu\) 方向的截面曲率之和。
再看非对角分量。以 \(R_{12}\) 为例：
\[ R_{12}=R^0_{\ 102}+R^1_{\ 112}+R^2_{\ 122}+R^3_{\ 132}. \tag{3-4} \]
由于
\[ R^1_{\ 112}=0,\qquad R^2_{\ 122}=0, \tag{3-5} \]
因此
\[ R_{12}=R^0_{\ 102}+R^3_{\ 132}. \tag{3-6} \]
它不再对应某一个截面的曲率，而是描述空间弯曲在1、2两个方向之间的弯曲关联。
几何上，Ricci 张量描述的是一束相邻测地线的体积变化。在平直空间中，平行测地线之间的距离保持不变，Ricci 张量处处为零。在弯曲空间中，若取测地线的切向量为 \(u^\mu\)，则公式（3-7）决定这束测地线沿 \(u\) 方向传播时倾向于会聚还是发散：
\[ R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu. \tag{3-7} \]
因此，Ricci 张量反映的是体积变化意义上的曲率，而不是某一个二维截面的局部弯曲。
3.2 Ricci 标量
Ricci 张量再与度规缩并一次，得到 Ricci 标量：\[ R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=R^\mu_{\ \mu}. \tag{3-8} \]
经过两次缩并，黎曼曲率张量的全部方向信息被压缩成一个数。由公式（3-8）可以看出，在正交归一基中，\(R\) 是所有二维截面曲率的两倍（每个截面恰好计入两次）。
对于2维曲面，只有1个截面，因此 Ricci 标量与高斯曲率\(K\)只差一个因子，\(R=2K\)。可见 Ricci 标量是高斯曲率在任意维数下的又一种推广。
几何上，Ricci 标量描述一点附近无穷小球的总体积，相对于平直空间中同半径球体积的偏离程度：\(R\gt 0\) 时体积偏小（如球面），\(R\lt 0\) 时体积偏大（如马鞍面）。
Ricci 张量告诉我们不同方向上的体积收缩或膨胀趋势，Ricci 标量则把所有方向进一步累加，得到一点处曲率的总体大小。
3.3 Weyl 张量
缩并得到的 Ricci 部分并不是黎曼曲率张量的全部。从 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 中减去由 \(R_{\mu\nu}\) 与 \(g_{\mu\nu}\) 所能构造出的部分，剩下的称为 Weyl 张量 \(C^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\)。在四维时空中：\[ \begin{aligned} R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} =\;&\frac{1}{2}\left( \delta^\rho_{\ \mu}R_{\sigma\nu} -\delta^\rho_{\ \nu}R_{\sigma\mu} -g_{\sigma\mu}R^\rho_{\ \nu} +g_{\sigma\nu}R^\rho_{\ \mu} \right)\\[2pt] &-\frac{R}{6}\left( \delta^\rho_{\ \mu}g_{\sigma\nu} -\delta^\rho_{\ \nu}g_{\sigma\mu} \right) +C^\rho_{\ \sigma\mu\nu}. \end{aligned} \tag{3-10} \]
前两项就是 Ricci 部分，它是唯一能由 \(R_{\mu\nu}\) 和 \(g_{\mu\nu}\) 组成、且缩并一对指标后恰好还原 \(R_{\mu\nu}\) 的表达式。减去它之后剩下的 Weyl 张量自然无迹。
\(C^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 的构造保证了它的任何缩并都恒为零，因此它不包含任何 Ricci 张量已经记录的信息。四维时空中，Weyl 张量有10个独立分量，与 Ricci 张量的10个分量合起来，恰好是黎曼曲率张量的20个独立分量。
几何上，Weyl 张量描述的是不改变体积的形状畸变。Weyl 张量不由当地物质直接决定：它携带的是远处物质、边界条件以及引力波的信息——引力波在真空中传播时，携带的正是这种体积不变的形状畸变。
第四章 爱因斯坦张量
等效原理表明，局部的引力效应与加速参考系不可区分，爱因斯坦据此把引力归结为时空的几何性质。牛顿引力中，引力的源是质量密度；在广义相对论中，引力被时空弯曲替代，而能量、动量、压强和应力同为时空弯曲的源，它们统一组成能量—动量张量 \(T_{\mu\nu}\)。要连接物质与时空，几何一侧必须找到一个能与 \(T_{\mu\nu}\) 匹配的张量，这个张量即为爱因斯坦张量。4.1 几何一侧的三个条件
这个张量要满足三个条件：第一，由弯曲决定：只能由 \(g_{\mu\nu}\)、\(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 及其缩并构造；
第二，是二阶对称张量：与 \(T_{\mu\nu}\) 同型，才能出现在同一个等式中；
第三，协变散度为零。能量动量守恒在弯曲时空中的形式是
\[ \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0, \tag{4-1} \]
等号左边的几何张量必须同样满足：
\[ \nabla^\mu(\ \ )_{\mu\nu}=0. \tag{4-2} \]
满足前两个条件的最自然候选是 Ricci 张量 \(R_{\mu\nu}\)：它由黎曼曲率张量缩并而来，且是二阶对称张量。
4.2 Bianchi 恒等式与爱因斯坦张量
然而，Ricci 张量不满足第三个条件。Bianchi 恒等式（由黎曼曲率张量的指标对称性导出，证明从略）缩并后给出：\[ \nabla^\mu R_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\nabla_\nu R, \tag{4-3} \]
即 Ricci 张量的散度不为零，但恰好等于 Ricci 标量梯度的一半。
补足这一半只差一个与 \(R\) 成正比的项。本书所用的联络由度规决定，恒有 \(\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0\)，因此 \(g_{\mu\nu}\) 乘以任何标量都不影响散度条件。定义爱因斯坦张量：
\[ G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R\,g_{\mu\nu}, \tag{4-4} \]
则由公式（4-3）和公式（4-4）可得：
\[ \nabla^\mu G_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\nabla_\nu R-\frac{1}{2}\nabla_\nu R=0. \tag{4-5} \]
\(G_{\mu\nu}\) 称为爱因斯坦张量。它由曲率构造、二阶对称、协变散度为零，三个条件全部满足。
需要指出，三个条件并不能唯一确定 \(G_{\mu\nu}\)：对任意常数 \(\Lambda\)，组合 \(G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\) 同样满足全部条件。\(\Lambda\) 即宇宙学常数，它是否存在、取值多大，数学无法回答，只能由观测决定。
4.3 各分量的意义
回顾第三章：正交归一坐标下，对角分量 \(R_{\mu\mu}\) 是所有包含 \(\mu\) 方向的截面曲率之和，\((1/2)R\) 是每个截面各计入一次的总和。代入 \(G_{\mu\nu}\) 的定义公式（4-4），逐方向检验可以发现，\(-(1/2)R g_{\mu\nu}\) 的作用恰好是去掉截面曲率中的重复计数。以00分量为例，取度规号差 \((-,+,+,+)\)，计算给出：
\[ G_{00}=K_{12}+K_{13}+K_{23}, \tag{4-6} \]
即三个纯空间截面曲率之和。同理，\(G_{ii}\) 等于负的不含 \(i\) 的三个截面曲率之和。而非对角分量由耦合型黎曼分量组成，只有在弯曲呈现方向间关联时才非零。
在一般坐标系中，坐标基矢通常既不是单位长度，也不互相正交，因此 \(G_{\mu\nu}\) 不能直接解释为若干截面曲率的简单相加。更准确地说，\(G_{\mu\nu}\) 是 Ricci 曲率经过重新组合后得到的有效曲率张量，它保留了与时空弯曲源相对应的那部分曲率信息，并满足协变守恒律。
第五章 时空弯曲的源头
在上一章，我们用爱因斯坦张量描述时空的几何弯曲。本章介绍造成时空弯曲的源头——能量—动量张量 \(T_{\mu\nu}\)，建立引力场方程，并给出宇宙中各组分的具体形式。5.1 能量—动量张量
能量—动量张量包含三类基本的物理量。第一是能量密度：单位体积内的能量。在随流体运动的共动系中，能量密度为固有能量密度\(\varepsilon = \rho c^2 + \varepsilon_{\text{int}}\)，其中\(\rho\)为静质量密度，\(\varepsilon_{\text{int}}\) 为共动系中的内能密度（包含热运动、相互作用等贡献）。若进一步考虑非相对论性冷物质（即内能远小于静能，\(\varepsilon_{\text{int}} \ll \rho c^2\)），则能量密度近似等于质量密度乘以光速平方\(\varepsilon \approx \rho c^2\)。在一般参考系中，能量密度为\( \varepsilon\gamma^2 + p\gamma^2 \frac{v^2}{c^2}\)，其中(\\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – v^2/c^2}}\)。
第二是能流密度 \(\mathbf S\)：单位时间穿过单位面积的能量，方向即能量流动的方向。若介质以速度 \(\mathbf u\) 运动，则 \(\mathbf S=\varepsilon\mathbf u\)。与之等价的是动量密度 \(\mathbf g\)——单位体积内介质携带的动量。相对论中二者是同一物理量的两面，相差一个因子： \[ \mathbf g=\frac{\mathbf S}{c^2}. \tag{5-1} \]
第三是应力：单位面积上介质内部相互作用的力，分为垂直于面的压强和平行于面的剪切应力。
能量—动量张量 \(T_{\mu\nu}\) 把这三类量组织成一个 \(4\times4\) 对称张量，共10个独立分量。按指标位置分为四块，各块的物理意义见表5-1。
表5-1 能量—动量张量的分块结构
| 分量 | 物理意义 |
|---|---|
| \(T_{00}\) | 能量密度 \(\varepsilon\) |
| \(T_{0i}=T_{i0}\) | 能流密度（等价于动量密度） |
| \(T_{ii}\)（对角） | 各方向的压强 |
| \(T_{ij}\)（\(i\ne j\)） | 剪切应力 |
5.2 引力场方程
把几何一侧与物质一侧用等号连接，得到引力场方程（也叫爱因斯坦场方程）：\[ G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}, \tag{5-2} \]
其中 \(G\) 为牛顿引力常数。等号左边是时空的曲率，右边是能量、动量与应力。Bianchi 恒等式保证两边的守恒律自动相容：\(\nabla^\mu G_{\mu\nu}=\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0\)。
按分量读，场方程把几何与源一一对应：\(G_{00}\) 对应能量密度，\(G_{0i}\) 对应能流密度（动量密度），\(G_{ij}\) 对应压强与应力。
如4.2节所述，场方程左边还可以加上 \(\Lambda g_{\mu\nu}\) 项。加上之后，即使真空也能产生加速膨胀式的弯曲。在5.4节将看到，这一项对应暗能量，是解释现今宇宙加速膨胀的候选之一。
5.3 完美流体
完美流体指流体各向同性，既无能流也无剪切应力。能近似为完美流体有两个前提：其一，宇宙在大尺度上均匀且各向同性——小尺度上的星系、星系团等结构被平均掉，不存在特殊的流动方向和剪切；其二，流体元的尺度远大于粒子的平均自由程，粒子间相互作用足以维持局域平衡，黏滞和热传导可以忽略。两个前提不满足时近似失效，例如结构形成的小尺度上需要计入剪切，自由-streaming 的中微子会产生微小的各向异性应力。在共动系中，宇宙学中的组分（物质、辐射和暗能量）在背景层面可以近似为完美流体。
在完美流体中，\(T_{\mu\nu}\) 取最简单的对角形式：\(T_{00}\) 为能量密度 \(\varepsilon\)，三个空间对角元同为压强 \(p\)，其余分量全为零。整个张量只由两个函数决定：\(\varepsilon\) 和 \(p\)。
写成与坐标无关的形式，设流体四速度为 \(u^\mu\)（满足 \(u^\mu u_\mu=-1\)），则有：
\[ T_{\mu\nu}=(\varepsilon+p)\,u_\mu u_\nu+p\,g_{\mu\nu}. \tag{5-3} \]
在共动系中 \(u^\mu=(1,0,0,0)\)，上式即退化为上述对角形式。
要把场方程用于宇宙，需要了解宇宙学背景。观测表明，宇宙在大尺度上均匀且各向同性，其度规为 FLRW 度规：
\[ ds^2=-dt^2+a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2)\right], \tag{5-4} \]
其中\(t\)是宇宙时间；\(r\)、\(\theta\)和\(\varphi\)是共动球坐标。共动坐标网格随宇宙膨胀而整体拉伸，但坐标值本身不随时间变化。宇宙膨胀的相对比例由尺度因子 \(a(t)\) 描述，定义为任意时刻 \(t\)与当前时刻 \(t_0\)，两个共动观测者间的物理距离\(D\)的比值\(a(t)≡D(t)/D(t)\)。当\(a(t)\)随时间增大时，星系间彼此远离，而共动坐标保持不变。\(k\) 是空间曲率参数，取值为1、−1或0，对应闭合宇宙、开放宇宙或平坦宇宙。由于空间在各个方向都是均匀且对称的，所有方向的截面曲率都相等，记作\(K\)；空间的实际弯曲强度由 \(K=k/a^2(t)\)决定；对应的黎曼标量为\(R=6K=6k/a^2\)。
在 FLRW 背景下，对于完美流体，由场方程（5-2）的0-0分量和i-i分量可以得到加速方程：
\[ \frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\,\varepsilon+3p. \tag{5-5} \]
和弗里德曼方程：
\[ H^2=\frac{8\pi G}{3}\varepsilon-\frac{k}{a^2}, \tag{5-6} \] 其中哈勃参数 \(H=\dot a/a\) 是膨胀速率。
守恒律 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0\) 给出连续性方程：
\[ \dot\varepsilon+3H(\varepsilon+p)=0, \tag{5-7} \]
它决定各组分的能量密度如何随膨胀演化。
5.4 辐射、物质与暗能量
在主流认知中，宇宙由辐射、物质、暗能量等组分组成。不同组分的差别在于压强与能量密度的关系。定义状态方程参数：\[ w=\frac{p}{\varepsilon}. \tag{5-8} \]
在气体动理论中，压强是粒子动量流的各向同性平均：
\[ p=\frac{1}{3}n\langle\,\mathbf p\cdot\mathbf v\,\rangle, \tag{5-9} \]
其中 \(n\) 是数密度，因子 \(1/3\) 来自三个空间方向的均分。
物质：由非相对论性粒子组成，即粒子的热运动速度远小于光速。对于单个粒子，动量\(\mathbf p\cdot\mathbf v=mv^2\)，它等于动能的两倍，因此由式（5-9）可得压强等于动能密度的 \(2/3\)。但是非相对论性粒子的总能量密度几乎全部来自静质量能，动能仅占极小比例，因此 \(p\ll\varepsilon\)，\(w\equiv p/\varepsilon\approx0\)。由连续性方程（5-7）可知，此时\(\varepsilon\propto a^{-3}\)，即能量密度仅因宇宙体积膨胀而按 \(a^{-3}\) 稀释。
物质又分为重子和暗物质，其中重子参与电磁相互作用，暗物质不参与电磁相互作用。标准宇宙学模型中，暗物质以冷暗物质为主，自由流长度极短，不会抹掉小尺度结构；中微子因质量极小，在早期宇宙退耦时处于相对论性状态，自由流尺度大，显著抑制小尺度结构，因此在晚期宇宙被归类为热暗物质。
辐射：包括光子和早期中微子等相对论性粒子，其速度满足 \(v\simeq c\)。此时 \(\mathbf p\cdot\mathbf v=pc=E\)，于是 \(p=\frac13 n\langle E\rangle=\varepsilon/3\)，因此 \(w=1/3\)。由连续性方程公式（5-7）可知，\(\varepsilon\propto a^{-4}\)。相比于物质，辐射除了因宇宙膨胀导致数密度按 \(a^{-3}\) 稀释外，单个光子的波长还随尺度因子伸长；由于 \(E=h\nu=hc/\lambda\)，其能量按 \(a^{-1}\) 衰减，因此总能量密度满足 \(\varepsilon\propto a^{-4}\)。
暗能量：指使宇宙加速膨胀的组分。宇宙加速膨胀要求\(\ddot a>0\) ，而\(\varepsilon>0\)，由加速度方程（5-5）可知，需要\(w<-1/3\) 。
在标准宇宙学模型中，暗能量为真空能。如4.2节所述，场方程左边可以加上 \(\Lambda g_{\mu\nu}\) 项，这一项即为真空能。如果把这一项并入等号右边的能动张量中，相当于多了一项能量—动量张量为 \(T_{\mu\nu}=-\varepsilon g_{\mu\nu}\)的暗能量组分。对照式（5-3）可知，其能量密度为常数 \(\varepsilon =\Lambda c^4/ (8\pi G)\)，压强\(p=-\varepsilon\)，\(w=-1\)。随着宇宙膨胀，单位体积中的暗能量密度始终保持不变，因此总暗能量会随宇宙体积增加而增加。更一般的暗能量模型允许 \(w\) 偏离 \(-1\)，甚至随时间演化，这也是当前宇宙学观测的重要检验目标。
状态方程参数 \(w\) 的物理意义可以从宇宙加速度方程直接看出：
当 \(w\gt -1/3\) 时，引力占主导，宇宙膨胀减速；当 \(w\lt -1/3\) 时，负压足够大，宇宙膨胀加速。这说明，引力的来源不仅是能量密度，压强同样参与引力作用，而这一点正是广义相对论区别于牛顿引力的重要特征。 把三类组分汇总，见表5-2。
表5-2 宇宙各组分的能量—动量张量
| 组分 | \(w\) | \(\varepsilon\) 随 \(a\) 的演化 | \(T_{\mu\nu}\)（共动系） | 对膨胀的作用 |
|---|---|---|---|---|
| 物质（重子、冷暗物质） | \(0\) | \(a^{-3}\) | \(\mathrm{diag}(\varepsilon,0,0,0)\) | 减速 |
| 辐射（光子等） | \(1/3\) | \(a^{-4}\) | \(\mathrm{diag}(\varepsilon,\varepsilon/3,\varepsilon/3,\varepsilon/3)\) | 减速 |
| 暗能量（\(\Lambda\)） | \(-1\) | 常数 | \(\mathrm{diag}(\varepsilon,-\varepsilon,-\varepsilon,-\varepsilon)\) | 加速 |
第六章 从引力场方程到万有引力
引力场方程告诉我们，引力的源头来自能量密度，能流密度和应力。但在日常经验里，复杂的时空弯曲退化为一个微弱的静态引力势。本章将从这个完整的相对论性方程出发，通过弱场、低速近似，逐步剥离出我们熟悉的万有引力定律。6.1 引力源头的简化
例一：宇宙背景。在背景层面上（指大尺度平均，区别于扰动），宇宙均匀且各向同性，引力的源头简化为 \(T_{\mu\nu}\) 中的对角：能量密度和压强。例二：物质。对于非相对论性的物质，热运动压强远小于静质量能密度，\(p\ll\rho c^2\)。而 \(\rho c^2=dE/dV\) 中的 \(E\) 又主要来自静质量能 \(mc^2\)。于是源头进一步简化：能量密度可以看成质量密度乘以光速的平方，引力的源头就是质量。
牛顿引力只认质量为源，正是因为它描述的是这一极限情形。
6.2 Weyl 张量：场方程之外的信息
3.3节的 Weyl 张量不出现在场方程中，它不由当地物质决定，可以在真空中存在和传播。因此，能量—动量张量决定局部时空如何弯曲，Weyl 张量决定这种弯曲在没有物质的区域如何表现。本章接下来讨论的牛顿极限，只涉及曲率的 Ricci 部分。6.3 弱场低速极限：泊松方程
考虑弱场、低速、静态分布的物质。在弱场方面，我们假设引力势能远小于物体的静能，即度规偏离平直度规一个小量\[ g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \quad |h_{\mu\nu}| \ll 1, \tag{6-1} \]
其中\(\eta_{\mu\nu}=diag(-1,1,-1,-1)\)。令\(h_{00}=-2\Phi/c^2\)，\(\Phi\) 即牛顿势。
对于静态、非相对论物质，爱因斯坦场方程的线性化解给出：
\[ h_{00}=-\frac{2\Phi}{c^2},\qquad h_{0i}=0,\qquad h_{ij}=-\frac{2\Phi}{c^2}\delta_{ij}, \qquad |\Phi|\ll c^2. \tag{6-2} \]
将度规带入式（4-4），静态使所有时间导数为零，可求得\(G\)。 物质低速使 \(T_{00}=\rho c^2\) 在能量—动量张量中占绝对主导。此时G的00分量化为：
\[ G_{00}\approx\frac{2}{c^2}\nabla^2\Phi=\frac{8\pi G}{c^4}\,\rho c^2, \tag{6-3} \]
这正是牛顿引力的泊松方程：
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho. \tag{6-4} \]
牛顿引力不是与场方程并列的另一套理论，而是它的一个分量在弱场、低速、静态极限下的样子。
6.4 万有引力定律
设质量 \(M\) 集中在原点：\(\rho=M\delta^3(\mathbf x)\)。原点之外区域泊松方程化为 \(\nabla^2\Phi=0\)，球对称解在无穷远 \(\Phi\to0\) 的条件下为：\[ \Phi=-\frac{GM}{r}. \tag{6-5} \]
另一方面，弱场低速下的测地线方程给出检验粒子的运动方程：
\[ \ddot{\mathbf x}=-\nabla\Phi. \tag{6-6} \]
代入点质量的势公式（6-5），得：
\[ \ddot{\mathbf x}=-\frac{d\Phi}{dr}\hat{\mathbf r}=-\frac{GM}{r^2}\hat{\mathbf r}. \tag{6-7} \]
两边乘以检验粒子的质量 \(m\)，得：
\[ \mathbf F=m\ddot{\mathbf x}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{\mathbf r}. \tag{6-8} \]
万有引力定律出现了：平方反比，负号表示吸引。引力常数 \(G\) 在场方程中的位置 \((8\pi G/c^4)\)，正是为了让这个极限与牛顿力学无缝对接。
6.5 自由落体与支持力
最后回到物理图像。由 \(g_{00}\) 的形式，静止钟的固有时满足：\[ d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt\approx\Bigl(1+\frac{\Phi}{c^2}\Bigr)dt, \tag{6-9} \]
\(\Phi\) 越低（越低处），钟走得越慢——这就是引力时间膨胀。
测地线是固有时取极值的路径。苹果落地，是因为它所经空间不同位置的时间流逝速率不同：沿弯曲时空的测地线自由下落，正是它“最省时间”（固有时最大）的走法。自由下落的苹果感受不到任何力——等效原理保证了这一点。
而你站在地面上感受到的支持力，是迫使你偏离测地线的加速度。你称之为“重量”的东西，不是引力在拉你，而是地面在推你。
至此，从第一章的曲率到苹果落地，链条全部闭合：物质决定 Ricci 曲率，曲率规定测地线，测地线即自由落体的轨迹——引力不是力，是时空的几何。