一、牛顿规范 (Newtonian Gauge)
1. 度规形式
牛顿规范的度规扰动形式为：
\[
ds^2 = a^2(\tau) \left[ -(1 + 2\Psi)d\tau^2 + (1 – 2\Phi)\delta_{ij}dx^i dx^j \right]
\]
2. 变量解释
– \(\Psi(\tau, \mathbf{x})\)：牛顿引力势 (Newtonian potential)
– \(\Phi(\tau, \mathbf{x})\)：空间曲率势 (curvature potential)
– 在无各向异性应力 (anisotropic stress) 时，\(\Phi = \Psi\)
3. 物理特点
– 时间坐标：宇宙共动观测者的固有时 (proper time)
– 空间坐标：平坦空间中的笛卡尔坐标
– 规范条件：Bardeen 规范 (Bardeen gauge)
– 消去了度规中的矢量扰动模式
– 标量扰动仅出现在对角线上
– 直观性：与牛顿引力理论类似，\(\Psi\) 对应牛顿引力势
4. 优点
– 度规扰动有明确的物理意义
– 与观测直接相关（如引力红移、时间延迟）
– 爱因斯坦方程形式相对简单
– 无规范自由度剩余
5. 缺点
– 在某些数值计算中可能不稳定
– 早期宇宙的辐射为主时期，方程可能 stiff
二、同步规范 (Synchronous Gauge)
1. 度规形式
同步规范的度规扰动形式为：
\[
ds^2 = a^2(\tau) \left[ -d\tau^2 + (\delta_{ij} + h_{ij})dx^i dx^j \right]
\]
其中标量扰动部分可以分解为：
\[
h_{ij}(\tau, \mathbf{x}) = \int d^3k \, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \left[ \hat{k}_i \hat{k}_j h(\tau, \mathbf{k}) + 6\left(\hat{k}_i \hat{k}_j – \frac{1}{3}\delta_{ij}\right)\eta(\tau, \mathbf{k}) \right]
\]
2. 常用变量
– \(h(\tau, \mathbf{k})\)：迹扰动 (trace perturbation)
– \(\eta(\tau, \mathbf{k})\)：各向异性势 (anisotropic potential)
– 有时也使用 \(h = 6\eta + \tilde{h}\) 的分解
在 CLASS 中通常定义：
\[
\alpha = \frac{h’ + 6\eta’}{2k^2}
\]
其中撇号表示对共形时间 τ 的导数。
3. 规范条件
– 时间坐标：与冷暗物质共动观测者的固有时同步
– 规范自由度：
1. 时间平移：\(\tau \rightarrow \tau + T(\mathbf{x})\)
2. 空间坐标变换：\(x^i \rightarrow x^i + \partial^i L(\mathbf{x})\)
这些自由度通常通过固定冷暗物质速度为 0 来消除：
\[
\theta_{\text{cdm}} = 0
\]
4. 优点
– 数值计算稳定
– 在物质为主时期方程较简单
– 早期宇宙演化自然
– 无时间-空间度规交叉项
5. 缺点
– 度规扰动无直接物理意义
– 与观测量的联系需要规范变换
– 存在剩余规范自由度需小心处理
三、两种规范的主要区别对比
| 特征 | 牛顿规范 | 同步规范 |
|---|---|---|
| 度规形式 | \(ds^2 = a^2[-(1+2\Psi)d\tau^2 + (1-2\Phi)\delta_{ij}dx^idx^j]\) | \(ds^2 = a^2[-d\tau^2 + (\delta_{ij}+h_{ij})dx^idx^j]\) |
| 主要变量 | \(\Psi\), \(\Phi\) (2个标量势) | \(h\), \(\eta\) (或 \(\alpha\)) |
| 规范条件 | 消除矢量模式，标量仅在对角线 | 时间与CDM观测者同步，\(h_{0\mu}=0\) |
| 物理直观性 | 高（\(\Psi\) 直接对应牛顿势） | 低（度规变量无直接物理解释） |
| 数值稳定性 | 可能不稳定（特别是早期） | 非常稳定 |
| 与观测联系 | 直接（引力红移、ISW效应等） | 需要规范变换 |
| 规范自由度 | 完全固定 | 有剩余自由度，需额外条件 |
| 常用领域 | 解析计算、与观测对比 | 数值模拟、代码实现 |
四、规范变换关系
1. 变量变换公式
从同步规范 (\(h, \eta\)) 到牛顿规范 (\(\Psi, \Phi\))：
\[
\alpha = \frac{h’ + 6\eta’}{2k^2}
\]
\[
\Psi = \eta – \mathcal{H}\alpha – \alpha’
\]
\[
\Phi = \eta – \mathcal{H}\alpha
\]
其中 \(\mathcal{H} = a’/a = aH\) 是共形哈勃参数。
2. 密度和速度扰动变换
对于密度扰动 δ 和速度散度 θ：
从同步规范到牛顿规范：
\[
\delta^{\text{(Newton)}} = \delta^{\text{(sync)}} – 3\mathcal{H}(1+w)\alpha
\]
\[
\theta^{\text{(Newton)}} = \theta^{\text{(sync)}} + k^2\alpha
\]
特别地，对于物质 (w=0)：
\[
\delta^{\text{(Newton)}}_{\text{m}} = \delta^{\text{(sync)}}_{\text{m}} – 3\mathcal{H}\alpha
\]
五、物理应用示例
1. ISW效应 (积分 Sachs-Wolfe)
在牛顿规范中直接计算：
\[
\frac{\Delta T}{T} = \int (\Psi’ + \Phi’) e^{-\tau} d\tau
\]
在同步规范中需要转换。
2. 红移空间畸变 (RSD)
在牛顿规范中：
\[
\delta_{\text{obs}} = \delta – \frac{1}{\mathcal{H}}\partial_r v_r
\]
其中 \(v_r\) 是径向速度。
在同步规范中需要先变换到牛顿规范再计算。
3. 弱引力透镜
透镜势直接来自牛顿规范变量：
\[
\psi_{\text{lens}} = \Phi + \Psi
\]
六、数学公式总结
牛顿规范：
\[
ds^2 = a^2[-(1+2\Psi)d\tau^2 + (1-2\Phi)\delta_{ij}dx^idx^j]
\]
\[
\nabla^2 \Psi = 4\pi Ga^2 \delta\rho \quad (\text{泊松方程})
\]
同步规范：
\[
ds^2 = a^2[-d\tau^2 + (\delta_{ij}+h_{ij})dx^idx^j]
\]
\[
h_{ij} = \int d^3k e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \left[ \hat{k}_i\hat{k}_j h + 6(\hat{k}_i\hat{k}_j – \frac{1}{3}\delta_{ij})\eta \right]
\]
变换关系：
\[
\alpha = \frac{h’ + 6\eta’}{2k^2}, \quad \Psi = \eta – \mathcal{H}\alpha – \alpha’, \quad \Phi = \eta – \mathcal{H}\alpha
\]
七、选择建议
使用牛顿规范当：
– 需要直观物理解释
– 计算观测效应（如ISW、透镜）
– 解析推导
– 与牛顿引力对比
使用同步规范当：
– 进行数值积分
– 计算早期宇宙演化
– 需要数值稳定性
– 在物质为主时期工作
现代宇宙学代码（如 CLASS、CAMB）通常在同步规范中积分方程，然后在需要时转换到牛顿规范输出结果，兼顾了数值稳定性和物理直观性。