\(\)

认识引力

前言

写这篇文章的目的，是为了回答一个问题：什么是引力？

从牛顿的万有引力定律到爱因斯坦的时空弯曲，引力的图像发生了根本改变。因此，认识引力，需要从最基本的“弯曲”直觉出发，建立广义相对论中曲率、场方程与引力的完整链条。

本文面向已学完高等数学、但未系统接触微分几何的读者。第一章区分外蕴曲率与内蕴曲率，说明广义相对论为什么只需要内蕴曲率。第二章引入描述内蕴曲率的数学工具：度规定义距离，协变导数定义弯曲空间中的微分，平行移动与测地线建立几何图像，最终给出黎曼曲率张量的定义，并说明截面曲率与不同维数下的曲率计数。第三章通过缩并将黎曼张量分解为 Ricci 部分（体积变化）与 Weyl 部分（形状畸变）。第四章由散度条件构造爱因斯坦张量。第五章引入能量—动量张量，建立爱因斯坦场方程，并给出宇宙学中辐射、物质与暗能量的具体形式。第六章讨论场方程的牛顿极限，说明万有引力定律只是弱场低速下的近似，并回到“引力是时空几何”的物理图像。

由于水平有限，如有错误，欢迎指正。由于时间有限，全文未补充插图。

---

目录

第一章 内蕴曲率与外蕴曲率
1.1 平面曲线的曲率
1.2 二维曲面的曲率
1.3 内蕴曲率与外蕴曲率

第二章 内蕴曲率的数学描述
2.1 张量
2.2 缩并
2.3 度规
2.4 协变导数
2.5 平行移动
2.6 测地线
2.7 黎曼曲率张量
2.8 闭合回路公式
2.9 截面曲率
2.10 不同维数下的曲率

第三章 曲率信息的压缩
3.1 Ricci 张量
3.2 Ricci 标量
3.3 Weyl 张量

第四章 爱因斯坦张量
4.1 几何一侧的三个条件
4.2 Bianchi 恒等式与爱因斯坦张量
4.3 各分量的意义

第五章 时空弯曲的源头
5.1 能量—动量张量
5.2 引力场方程
5.3 完美流体
5.4 辐射、物质与暗能量
5.5 各宇宙组分的能量—动量张量

第六章 从引力场方程到万有引力
6.1 引力源头的简化
6.2 Weyl 张量：场方程之外的信息
6.3 弱场低速极限：泊松方程
6.4 万有引力定律
6.5 自由落体与支持力

---

第一章 内蕴曲率与外蕴曲率

在日常生活中，我们很容易判断一个物体是不是弯的：弯曲的铁丝、卷起的纸张、起伏的山坡，都给人一种“弯曲”的直观感觉。

然而，数学中的“曲率”并不只有一种。对于广义相对论而言，更重要的是区分两类不同的曲率：外蕴曲率和内蕴曲率。

外蕴曲率描述的是一个几何对象在更高维空间中弯曲的程度，必须借助外部空间才能定义。

内蕴曲率描述的是几何对象自身的弯曲性质，它完全由对象内部的测量决定，不依赖外部空间是否存在，也不依赖它如何嵌入到更高维空间中。

1.1 平面曲线的曲率

对于一条平面曲线，每一点都可以作一个与曲线最贴合的圆，称为密切圆。密切圆的半径记为 \(R\)，则曲率定义为公式（1-1）：

\[
\kappa=\frac{1}{R}. \tag{1-1}
\]

半径越小，曲线弯得越厉害；半径越大，曲线越平缓。

由于密切圆必须定义在曲线所在的平面中，曲线“朝哪一侧弯曲”也必须站在外部空间观察，因此这种曲率属于外蕴曲率。

1.2 二维曲面的曲率

对于二维曲面，情况比平面曲线复杂得多。

曲面上一点可以经过无穷多条不同方向的曲线，每条曲线都有自己的曲率，因此单独某一条曲线的曲率已经不能代表整个曲面的弯曲程度。

为了描述曲面的弯曲，人们采用下面的方法。

首先，在曲面上一点 \(P\) 取单位法向量 \(\mathbf n\)。经过 \(\mathbf n\) 作不同方向的截面，截面与曲面的交线称为法截线，它们分别具有不同的法曲率，记为 \(\kappa_n\)。

随着截面绕法线连续旋转，法曲率也不断变化。其中最大值称为第一主曲率 \(\kappa_1\)，最小值称为第二主曲率 \(\kappa_2\)。欧拉定理表明，这两个方向彼此垂直。

因此，一个曲面在一点的弯曲性质，可以用两个主曲率来描述。通常，人们最关心的是由它们构成的两个量：高斯曲率见公式（1-2），平均曲率见公式（1-3）。

\[
K=\kappa_1\kappa_2, \tag{1-2}
\]
\[
H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}. \tag{1-3}
\]

典型曲面的主曲率和高斯曲率见表1-1。

表1-1 典型曲面的主曲率与高斯曲率

曲面	\(\kappa_1,\kappa_2\)	\(K\)
球面（半径 \(R\)）	\(1/R,\;1/R\)	\(1/R^2\gt 0\)
圆柱面	\(1/R,\;0\)	\(0\)
平面	\(0,\;0\)	\(0\)
马鞍面	一正一负	\(\lt 0\)

从表中可以发现一个耐人寻味的现象。圆柱面看起来明显是弯曲的，但它的高斯曲率却等于零；球面虽然同样是弯曲的，高斯曲率却始终大于零。

造成这种差别的原因，在于二者是否能够不经过拉伸或压缩而变形成另一种曲面。一张平纸可以直接卷成圆柱面，整个过程中纸面既没有被拉长，也没有被压短，因此平面与圆柱面具有相同的高斯曲率，均为零。而球面无论怎样变形，都无法完整地展开成平面而不发生拉伸或压缩。这也是地图绘制时不可避免会产生形状、面积或距离失真的根本原因。

1.3 内蕴曲率与外蕴曲率

由此可以发现，有些曲率会随着几何对象放置方式的改变而改变，而有些曲率却始终保持不变。

像曲线的曲率、曲面的主曲率、平均曲率等，都依赖于几何对象如何嵌入到更高维空间中，因此属于外蕴曲率。

而高斯曲率只由曲面内部的距离、角度等几何关系决定，与外部空间无关。即使生活在曲面上的二维生物永远无法离开曲面，它们也能够仅凭曲面上的测量确定高斯曲率，而不需要知道自己所处的空间是什么样子。这种完全由几何对象自身决定的曲率，称为内蕴曲率。

广义相对论中的引力正是由这种内蕴曲率来描述的，而不是由外蕴曲率来描述。

---

第二章 内蕴曲率的数学描述

对于二维曲面，一个高斯曲率 \(K\) 就足以描述全部内蕴曲率信息；但到了三维、四维甚至更高维空间，一个数已经不足以描述所有方向上的弯曲情况，需要一种能够同时记录各个方向曲率信息的数学对象。

这一章介绍建立这一数学对象所需的基本工具，包括张量、缩并、度规、协变导数、平行移动和测地线，并最终给出任意维空间内蕴曲率的完整数学描述——黎曼曲率张量。

2.1 张量

在弯曲空间中，许多几何量不能用一个数表示，需要用一组带指标的分量表示。这样的对象统称为张量。

张量按指标个数和位置分为 \((p,q)\) 型：\(p\) 个上指标，\(q\) 个下指标，上、下指标总数 \(p+q\) 称为张量的阶。在 \(n\) 维空间中，每个指标取 \(1,\cdots,n\)（四维时空取 \(0,1,2,3\)），一个 \((p,q)\) 型张量共有 \(n^{p+q}\) 个分量。常见例子见表2-1。

表2-1 常见张量的类型

类型	名称	例子
\((0,0)\)	标量	高斯曲率 \(K\)
\((1,0)\)	向量	位移 \(dx^\mu\)、速度 \(u^\mu\)
\((0,1)\)	余向量（对偶向量）	梯度 \(\partial_\mu\varphi\)
\((0,2)\)	二阶协变张量	度规 \(g_{\mu\nu}\)
\((1,3)\)	混合张量	黎曼曲率张量 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\)

指标的位置是有意义的，它记录了分量在坐标变换下的两种相反行为。

设坐标由 \(x^\mu\) 换为 \(x’^\mu\)。坐标微分按链式法则变换，见公式（2-1）：

\[
dx’^\mu=\frac{\partial x’^\mu}{\partial x^\nu}\,dx^\nu . \tag{2-1}
\]

凡分量按同样方式变换的对象，指标写在上边，称为逆变，见公式（2-2）：

\[
V’^\mu=\frac{\partial x’^\mu}{\partial x^\nu}\,V^\nu . \tag{2-2}
\]

而标量场的梯度按另一方向的链式法则变换，见公式（2-3）：

\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x’^\mu}
=\frac{\partial x^\nu}{\partial x’^\mu}\,\frac{\partial \varphi}{\partial x^\nu}. \tag{2-3}
\]

凡分量按这种方式变换的对象，指标写在下边，称为协变，见公式（2-4）：

\[
\omega’_\mu=\frac{\partial x^\nu}{\partial x’^\mu}\,\omega_\nu . \tag{2-4}
\]

注意两个变换矩阵互为逆矩阵，这正是“上指标求和下指标”能保证结果不依赖坐标系的原因：两种变换效果恰好抵消，例如 \(V^\mu\omega_\mu\) 在坐标变换下不变。

一个直观的例子：把坐标放大两倍，\(x’^\mu=2x^\mu\)。此时位移的分量也放大两倍，\(dx’^\mu=2dx^\mu\)；但梯度的分量缩小一半，\(\partial\varphi/\partial x’^\mu=(1/2)\partial\varphi/\partial x^\mu\)——因为单位坐标对应的实际距离变大了，“每单位坐标的变化率”自然变小。前者是逆变，后者是协变。

两类指标不能随意互换，升、降指标必须借助度规完成（见2.3节）。

本书采用爱因斯坦求和约定：同一项中成对出现的一个上指标和一个下指标，默认对其求和，求和号省略，见公式（2-5）：

\[
\mathbf V=V^\rho\mathbf e_\rho\equiv\sum_\rho V^\rho\mathbf e_\rho,
\qquad
ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\equiv\sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu . \tag{2-5}
\]

成对出现的指标称为哑指标，可任意改名；只出现一次的指标称为自由指标，等式两边的自由指标必须一一对应。

2.2 缩并

缩并是把一个上指标和一个下指标取成相同并求和的操作，它使张量的阶数降低两阶。

例如，对于一个 \((1,1)\) 型张量 \(A^\rho_{\ \sigma}\)，把 \(\rho\) 与 \(\sigma\) 取成相同并求和，就得到一个标量，见公式（2-6）：

\[
A=A^\sigma_{\ \sigma}. \tag{2-6}
\]

缩并是从高阶张量中提取压缩信息的标准手段。后面将看到，Ricci 张量和 Ricci 标量都是由黎曼曲率张量缩并得到的。

2.3 度规

度规张量 \(g_{\mu\nu}\) 给出相邻两点之间微小位移 \(dx^\mu\) 对应的距离平方，见公式（2-7）：

\[
ds^2=g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu. \tag{2-7}
\]

它相当于地图上的比例尺，只是在弯曲空间中，这个比例尺随位置和方向变化。\(g_{\mu\nu}\) 是对称的，即 \(g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}\)。

\(g_{\mu\nu}\) 的逆矩阵记为 \(g^{\mu\nu}\)，满足公式（2-8）：

\[
g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}=\delta^\mu_{\ \rho}. \tag{2-8}
\]

利用度规可以把指标降下或升上，见公式（2-9）：

\[
V_\mu=g_{\mu\nu}V^\nu,\qquad V^\mu=g^{\mu\nu}V_\nu. \tag{2-9}
\]

2.4 协变导数

在弯曲空间中，各点的坐标基矢 \(\mathbf e_\rho\) 一般随位置改变。普通偏导数 \(\partial_\mu\) 只对向量的分量求导，不能反映基矢的变化，因此无法正确比较不同点的向量。

设向量场写成公式（2-10）：

\[
\mathbf V=V^\rho\,\mathbf e_\rho. \tag{2-10}
\]

沿 \(x^\mu\) 方向求导时，由乘积法则可得公式（2-11）：

\[
\nabla_\mu\mathbf V=(\partial_\mu V^\rho)\,\mathbf e_\rho+V^\sigma(\nabla_\mu\mathbf e_\sigma). \tag{2-11}
\]

第一项表示向量分量的变化，第二项表示坐标基矢随位置变化产生的贡献。

由于基矢的导数仍然是一个向量，可以重新展开为公式（2-12）：

\[
\nabla_\mu\mathbf e_\sigma=\Gamma^\rho_{\ \sigma\mu}\,\mathbf e_\rho, \tag{2-12}
\]

其中 \(\Gamma^\rho_{\ \sigma\mu}\) 称为联络（Christoffel 符号），表示沿 \(x^\mu\) 方向移动时，基矢 \(\mathbf e_\sigma\) 在 \(\mathbf e_\rho\) 方向上的变化率。

代入上式，得到协变导数的分量形式，见公式（2-13）：

\[
\nabla_\mu V^\rho=\partial_\mu V^\rho+\Gamma^\rho_{\ \sigma\mu}V^\sigma. \tag{2-13}
\]

因此，协变导数既考虑了分量的变化，也考虑了基矢的变化，其结果仍然是一个张量。

需要注意的是，联络不是曲率。联络依赖于坐标系的选择：在欧氏平面的直角坐标系中 \(\Gamma=0\)，而在极坐标系中 \(\Gamma\ne0\)，尽管空间本身同样是平直的。当空间存在真正的弯曲时，任何坐标变换都无法使所有点的联络同时为零，此时只有内蕴曲率才能描述几何的本质。

2.5 平行移动

平行移动是让向量沿一条路径移动、并在沿途保持与自身平行的操作。

设曲线为 \(x^\mu(\lambda)\)，其切向量为 \(u^\mu=dx^\mu/d\lambda\)。向量 \(V^\rho\) 沿曲线平行移动的定义是：它沿曲线方向的协变导数为零，见公式（2-14）：

\[
u^\mu\nabla_\mu V^\rho=0. \tag{2-14}
\]

在平面上，平行移动的结果与路径无关：把向量从 A 移到 B，无论走哪条路，得到的向量方向相同。在曲面上则不同：在球面上沿不同路径把同一向量从 A 移到 B，得到的向量方向不同。

平行移动的路径依赖性，是内蕴弯曲的直接表现。2.7节将利用这一性质给出黎曼曲率的定义。

2.6 测地线

平直空间中的直线有两个等价性质：它是两点之间距离最短的路径，也是方向始终保持不变的路径。把这两条性质推广到弯曲空间，就得到测地线的两种等价定义。

从距离上看，连接两点的所有路径中，长度取极值的路径称为测地线。从方向上看，测地线是其切向量沿自身平行移动的曲线：曲线上每一点的速度方向，都恰好是前一点速度方向平行移动的结果。

第二种定义可以直接写成方程。设曲线为 \(x^\mu(\lambda)\)，切向量为 \(u^\mu=dx^\mu/d\lambda\)。要求切向量沿曲线自身平行移动，见公式（2-15）：

\[
u^\nu\nabla_\nu u^\mu=0. \tag{2-15}
\]

代入协变导数的分量形式，得到测地线方程，见公式（2-16）：

\[
\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}
+\Gamma^\mu_{\ \nu\rho}\frac{dx^\nu}{d\lambda}\frac{dx^\rho}{d\lambda}=0. \tag{2-16}
\]

第一项是“加速度”，第二项是联络对坐标基矢变化的修正。在平直空间的直角坐标系中 \(\Gamma=0\)，方程退化为 \(d^2x^\mu/d\lambda^2=0\)，其解就是直线，即直线是平直空间中的测地线。

可见，测地线可以看作“加速度为零的曲线”——它是自由粒子在不受任何力时的运动轨迹。

平面上的测地线是直线，球面上的测地线是大圆。例如，跨洋航班的航线在地图上看似弯曲，实际上沿的正是球面上的大圆，即球面的测地线；航线“弯曲”不是飞机的转向，而是地球表面自身弯曲的表现。

在广义相对论中，这一图像成为引力的基本图景：自由下落的粒子沿时空中的测地线运动，有质量天体的作用是改变时空的弯曲程度，从而改变测地线的形状，而不是对粒子施加一个力。引力的“作用”全部转移到了时空几何之中。光的轨迹同样是测地线（类光测地线），这是光线在引力场中偏折的几何来源。

2.7 黎曼曲率张量

把一个向量 \(\mathbf V\) 先沿 \(\mu\) 方向平行移动、再沿 \(\nu\) 方向平行移动，与颠倒次序后的结果一般不同。两种次序的差可以写成公式（2-17）：

\[
(\nabla_\mu\nabla_\nu-\nabla_\nu\nabla_\mu)V^\rho=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}V^\sigma. \tag{2-17}
\]

这就是黎曼曲率张量 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 的定义。两种次序对应沿一个小平行四边形的两条不同路径，它们的差就是绕回路一周后向量的变化。

等号右端不含 \(V\) 的导数，说明 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 只与该点有关，与被移动的向量及移动方式无关。也就是说，\(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 是空间在该点的固有属性，即内蕴曲率。

\(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 各指标的含义见表2-2。

表2-2 黎曼曲率张量 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 的指标含义

指标	含义
\(\sigma\)	被平行移动向量的原始分量
\(\mu\)	回路第一条边的方向
\(\nu\)	回路第二条边的方向
\(\rho\)	平行移动后产生变化的分量

由于最后两个指标表示构成回路的两个方向，交换 \(\mu\) 与 \(\nu\) 相当于把回路反绕一圈，向量的变化随之变号，因此最后两个指标反对称，见公式（2-18）：

\[
R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=-R^\rho_{\ \sigma\nu\mu}. \tag{2-18}
\]

特别地，当 \(\mu=\nu\) 时，回路面积为零，因此有公式（2-19）：

\[
R^\rho_{\ \sigma\mu\mu}=0. \tag{2-19}
\]

此外，平行移动保持向量的长度不变，因此向量的变化只能出现在与原向量垂直的方向上，见公式（2-20）：

\[
R^\rho_{\ \rho\mu\nu}=0. \tag{2-20}
\]

2.8 闭合回路公式

上节的定义可以转化为更直观的几何图像。

在点 \(P\) 取两个无穷小位移 \(\delta x^\mu\) 和 \(\delta x^\nu\)，它们张成一个无穷小平行四边形。到达对角点有两条路径：先沿 \(\mu\) 后沿 \(\nu\)，或先沿 \(\nu\) 后沿 \(\mu\)。两条路径首尾相接，便构成一个无穷小闭合回路。

由于协变导数不可交换，沿两条路径平行移动的结果一般不同，其差为公式（2-21）：

\[
\Delta V^\rho=(\nabla_\mu\nabla_\nu-\nabla_\nu\nabla_\mu)V^\rho\,\delta x^\mu\delta x^\nu. \tag{2-21}
\]

代入黎曼曲率张量的定义公式（2-17），可得闭合回路公式（2-22）：

\[
\Delta V^\rho=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}V^\sigma\,\delta x^\mu\delta x^\nu. \tag{2-22}
\]

这就是黎曼曲率张量的闭合回路公式，公式中各量的含义见表2-3。

表2-3 闭合回路公式中各量的含义

量	含义
\(\Delta V^\rho\)	向量绕回路平行移动一周后的变化量
\(V^\sigma\)	被平行移动的原向量
\(\delta x^\mu\delta x^\nu\)	回路的无穷小面积元
\(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\)	单位面积产生的向量变化率

因此，黎曼曲率张量可以理解为：向量绕单位面积的无穷小闭合回路平行移动一周后，所产生变化的比例系数。

回路越小，公式（2-22）越精确；对于有限大小的回路，需要沿路径逐点积分。若空间是平直的，则 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=0\)，于是 \(\Delta V^\rho=0\)，平行移动与路径无关。

2.9 截面曲率

在一点固定两个方向 \(\mu\) 和 \(\nu\)，它们张成一个二维截面。

向量沿截面内的无穷小闭合回路平行移动一圈，变化由黎曼曲率张量给出。变化中留在截面内的部分，刻画这个截面自身的弯曲程度——这就是截面曲率。

由2.8节可知，变化量正比于回路面积，所以截面曲率就是单位面积上的向量变化率，见公式（2-23）：

\[
K(u,v)=\frac{R_{\mu\nu\rho\sigma}\,u^{\mu}v^{\nu}u^{\rho}v^{\sigma}}{(u\cdot u)(v\cdot v)-(u\cdot v)^{2}}. \tag{2-23}
\]

分母是两方向张成的平行四边形面积的平方。取基矢量 \(\mathbf e_\mu\)、\(\mathbf e_\nu\)，上式化为公式（2-24）：

\[
K_{\mu\nu}=\frac{R_{\mu\nu\mu\nu}}{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}}. \tag{2-24}
\]

在正交归一基中，\(g_{\mu\mu}=\pm1\)，取度规号差 \((-,+,+,+)\)。于是有公式（2-25）：

\[
K_{ij}=R^{i}_{\ jij},\qquad K_{0i}=R^{0}_{\ i0i}=-R^{i}_{\ 0i0}\qquad(\text{不求和}). \tag{2-25}
\]

对二维曲面，只有一个截面，截面曲率就是高斯曲率，见公式（2-26）：

\[
K=\frac{R_{1212}}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}\quad\xrightarrow{\text{正交归一基}}\quad K=R^{1}_{\ 212}. \tag{2-26}
\]

所以黎曼曲率张量是高斯曲率在高维的推广：\(R^\mu_{\ \nu\mu\nu}\) 型分量给出各截面的弯曲，其余分量描述截面之间的耦合，合起来构成全部曲率信息。

2.10 不同维数下的曲率

一维空间只有一个方向，无法张成二维面积，因此不存在闭合回路，见公式（2-27）：

\[
\Delta V^\rho\equiv0. \tag{2-27}
\]

故一维空间的内蕴曲率恒为零。这也说明第一章中曲线的曲率 \(\kappa=1/R\) 属于外蕴曲率，而不是曲线自身的内蕴曲率。

对于二维曲面，希腊字母只取1、2。在正交归一坐标下，非零分量只有公式（2-28）：

\[
R^1_{\ 212}=K,\qquad R^2_{\ 112}=-K, \tag{2-28}
\]

即二维曲面的全部内蕴曲率信息就是一个数 \(K\)。此时闭合回路公式变为公式（2-29）：

\[
\Delta V^1=K V^2\,\delta x^1\delta x^2,\qquad
\Delta V^2=-K V^1\,\delta x^1\delta x^2. \tag{2-29}
\]

向量的变化始终垂直于原向量，其大小正比于高斯曲率和回路面积。

在 \(n\) 维空间，黎曼曲率张量共有 \(n^4\) 个分量，但由于各种对称性，独立分量只有公式（2-30）所示的个数：

\[
\frac{n^2(n^2-1)}{12}. \tag{2-30}
\]

以广义相对论的四维时空为例，坐标通常记为公式（2-31）：

\[
x^\mu=(t,x,y,z), \tag{2-31}
\]

即 \(\mu=0,1,2,3\)，其中0表示时间方向，1、2、3表示空间方向。此时独立分量共有公式（2-32）所示的20个：

\[
\frac{4^2(4^2-1)}{12}=20. \tag{2-32}
\]

其中，形如 \(R^\mu_{\ \nu\mu\nu}\) 的分量对应各坐标二维截面的截面曲率。四维时空共有6个坐标截面，因此共有6个这样的分量。它们可以粗略分为两类：纯空间分量 \(R^i_{\ jij}\)（\(i,j=1,2,3\)），对应空间二维截面的弯曲程度；时间—空间分量 \(R^0_{\ i0i}\)，描述时间—空间截面的曲率，在广义相对论中它们与潮汐加速度直接相关，决定邻近自由落体之间的相对加速度（真空中的潮汐效应由哪部分曲率承担，见3.3节）。

其余14个独立分量不直接对应某一坐标截面的曲率。例如，\(R^1_{\ 312}\) 表示一个沿3方向的向量，在由1、2两个方向张成的无穷小回路中平行移动一周后，出现在1方向变化的比例系数。它们描述不同方向之间的耦合，与截面曲率一起构成四维时空全部的曲率信息。

---

第三章 曲率信息的压缩

黎曼曲率张量在四维时空中有20个独立分量。这20个分量中，混杂着两种物理上截然不同的效应：体积变化与形状畸变。把一团呈小球状分布的自由下落粒子放开，它既会整体膨胀或收缩，也会被拉成椭球。

数学上有一种操作能把这两种效应干净地分开：按缩并分类，缩并不为零的部分依次给出 Ricci 张量和 Ricci 标量，承担体积变化；缩并恒为零的部分是 Weyl 张量，承担形状畸变。本章依次介绍这三者。

3.1 Ricci 张量

把黎曼曲率张量的第一个指标与第三个指标缩并，得到 Ricci 张量，见公式（3-1）：

\[
R_{\mu\nu}=R^\sigma_{\ \mu\sigma\nu}. \tag{3-1}
\]

Ricci 张量是一个二阶对称张量，见公式（3-2）：

\[
R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}, \tag{3-2}
\]

因此它在四维时空中有10个独立分量。

黎曼曲率张量记录每一个二维截面的详细曲率信息，Ricci 张量则把这些信息按方向累加，保留的是总体效应，不再区分每个截面的具体贡献。

先看对角分量。以 \(R_{11}\) 为例，见公式（3-3）：

\[
R_{11}=R^0_{\ 101}+R^1_{\ 111}+R^2_{\ 121}+R^3_{\ 131}. \tag{3-3}
\]

由于 \(R^1_{\ 111}=0\)，求和实际上只有三项。这三项分别对应三个包含1方向的二维截面：\((0,1)\) 时间—空间截面、\((1,2)\) 空间截面和 \((1,3)\) 空间截面。因此，在正交归一坐标下，对角分量 \(R_{\mu\mu}\) 表示所有包含 \(\mu\) 方向的截面曲率之和。

再看非对角分量。以 \(R_{12}\) 为例，先写出公式（3-4）：

\[
R_{12}=R^0_{\ 102}+R^1_{\ 112}+R^2_{\ 122}+R^3_{\ 132}. \tag{3-4}
\]

由于公式（3-5）中的两项为零：

\[
R^1_{\ 112}=0,\qquad R^2_{\ 122}=0, \tag{3-5}
\]

因此得到公式（3-6）：

\[
R_{12}=R^0_{\ 102}+R^3_{\ 132}. \tag{3-6}
\]

它不再对应某一个截面的曲率，而是描述空间弯曲在1、2两个方向之间的弯曲关联。

几何上，Ricci 张量描述的是一束相邻测地线的体积变化。在平直空间中，平行测地线之间的距离保持不变，Ricci 张量处处为零。在弯曲空间中，若取测地线的切向量为 \(u^\mu\)，则公式（3-7）决定这束测地线沿 \(u\) 方向传播时倾向于会聚还是发散：

\[
R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu. \tag{3-7}
\]

因此，Ricci 张量反映的是体积变化意义上的曲率，而不是某一个二维截面的局部弯曲。

3.2 Ricci 标量

Ricci 张量再与度规缩并一次，得到 Ricci 标量，见公式（3-8）：

\[
R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=R^\mu_{\ \mu}. \tag{3-8}
\]

经过两次缩并，黎曼曲率张量的全部方向信息被压缩成一个数。由公式（3-8）可以看出，在正交归一基中，\(R\) 是所有二维截面曲率的两倍（每个截面恰好计入两次）。

对于二维曲面，只有一个截面，因此 Ricci 标量与高斯曲率只差一个因子，见公式（3-9）：

\[
R=2K. \tag{3-9}
\]

可见 Ricci 标量是高斯曲率在任意维数下的又一种推广。

几何上，Ricci 标量描述一点附近无穷小球的总体积，相对于平直空间中同半径球体积的偏离程度：\(R\gt 0\) 时体积偏小（如球面），\(R\lt 0\) 时体积偏大（如马鞍面）。

Ricci 张量告诉我们不同方向上的体积收缩或膨胀趋势，Ricci 标量则把所有方向进一步累加，得到一点处曲率的总体大小。

3.3 Weyl 张量

缩并得到的 Ricci 部分并不是黎曼曲率张量的全部。从 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 中减去由 \(R_{\mu\nu}\) 与 \(g_{\mu\nu}\) 所能构造出的部分，剩下的称为 Weyl 张量 \(C^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\)。在四维时空中，分解见公式（3-10）：

\[
\begin{aligned}
R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}
=\;&\frac{1}{2}\left(
\delta^\rho_{\ \mu}R_{\sigma\nu}
-\delta^\rho_{\ \nu}R_{\sigma\mu}
-g_{\sigma\mu}R^\rho_{\ \nu}
+g_{\sigma\nu}R^\rho_{\ \mu}
\right)\\[2pt]
&-\frac{R}{6}\left(
\delta^\rho_{\ \mu}g_{\sigma\nu}
-\delta^\rho_{\ \nu}g_{\sigma\mu}
\right)
+C^\rho_{\ \sigma\mu\nu}.
\end{aligned} \tag{3-10}
\]

前两项就是 Ricci 部分，它是唯一能由 \(R_{\mu\nu}\) 和 \(g_{\mu\nu}\) 组成、且缩并一对指标后恰好还原 \(R_{\mu\nu}\) 的表达式。减去它之后剩下的 Weyl 张量自然无迹。

\(C^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 的构造保证了它的任何缩并都恒为零，因此它不包含任何 Ricci 张量已经记录的信息。四维时空中，Weyl 张量有10个独立分量，与 Ricci 张量的10个分量合起来，恰好是黎曼曲率张量的20个独立分量。

几何上，Weyl 张量描述的是不改变体积的形状畸变。Weyl 张量不由当地物质直接决定：它携带的是远处物质、边界条件以及引力波的信息——引力波在真空中传播时，携带的正是这种体积不变的形状畸变。

---

第四章 爱因斯坦张量

等效原理表明，局部的引力效应与加速参考系不可区分，爱因斯坦据此把引力归结为时空的几何性质。牛顿引力中，引力的源是质量密度；在广义相对论中，引力被时空弯曲替代，而能量、动量、压强和应力同为时空弯曲的源，它们统一组成能量—动量张量 \(T_{\mu\nu}\)。要连接物质与时空，几何一侧必须找到一个能与 \(T_{\mu\nu}\) 匹配的张量，这个张量即为爱因斯坦张量。

4.1 几何一侧的三个条件

这个张量要满足三个条件：

第一，由弯曲决定：只能由 \(g_{\mu\nu}\)、\(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\) 及其缩并构造；

第二，是二阶对称张量：与 \(T_{\mu\nu}\) 同型，才能出现在同一个等式中；

第三，协变散度为零。能量动量守恒在弯曲时空中的形式是公式（4-1）：

\[
\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0, \tag{4-1}
\]

等号左边的几何张量必须同样满足公式（4-2）：

\[
\nabla^\mu(\ \ )_{\mu\nu}=0. \tag{4-2}
\]

满足前两个条件的最自然候选是 Ricci 张量 \(R_{\mu\nu}\)：它由黎曼曲率张量缩并而来，且是二阶对称张量。

4.2 Bianchi 恒等式与爱因斯坦张量

然而，Ricci 张量不满足第三个条件。Bianchi 恒等式（由黎曼曲率张量的指标对称性导出，证明从略）缩并后给出公式（4-3）：

\[
\nabla^\mu R_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\nabla_\nu R, \tag{4-3}
\]

即 Ricci 张量的散度不为零，但恰好等于 Ricci 标量梯度的一半。

补足这一半只差一个与 \(R\) 成正比的项。本书所用的联络由度规决定，恒有 \(\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0\)，因此 \(g_{\mu\nu}\) 乘以任何标量都不影响散度条件。定义爱因斯坦张量，见公式（4-4）：

\[
G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R\,g_{\mu\nu}, \tag{4-4}
\]

则由公式（4-3）和公式（4-4）可得公式（4-5）：

\[
\nabla^\mu G_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\nabla_\nu R-\frac{1}{2}\nabla_\nu R=0. \tag{4-5}
\]

\(G_{\mu\nu}\) 称为爱因斯坦张量。它由曲率构造、二阶对称、协变散度为零，三个条件全部满足。

需要指出，三个条件并不能唯一确定 \(G_{\mu\nu}\)：对任意常数 \(\Lambda\)，组合 \(G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\) 同样满足全部条件。\(\Lambda\) 即宇宙学常数，它是否存在、取值多大，数学无法回答，只能由观测决定。

4.3 各分量的意义

回顾第三章：正交归一坐标下，对角分量 \(R_{\mu\mu}\) 是所有包含 \(\mu\) 方向的截面曲率之和，\((1/2)R\) 是每个截面各计入一次的总和。

代入 \(G_{\mu\nu}\) 的定义公式（4-4），逐方向检验可以发现，\(-(1/2)R g_{\mu\nu}\) 的作用恰好是去掉截面曲率中的重复计数。以00分量为例，取度规号差 \((-,+,+,+)\)，计算给出公式（4-6）：

\[
G_{00}=K_{12}+K_{13}+K_{23}, \tag{4-6}
\]

即三个纯空间截面曲率之和。同理，\(G_{ii}\) 等于负的不含 \(i\) 的三个截面曲率之和。而非对角分量由耦合型黎曼分量组成，只有在弯曲呈现方向间关联时才非零。

在一般坐标系中，坐标基矢通常既不是单位长度，也不互相正交，因此 \(G_{\mu\nu}\) 不能直接解释为若干截面曲率的简单相加。更准确地说，\(G_{\mu\nu}\) 是 Ricci 曲率经过重新组合后得到的有效曲率张量，它保留了与时空弯曲源相对应的那部分曲率信息，并满足协变守恒律。

---

第五章 时空弯曲的源头

在上一章，我们用爱因斯坦张量描述时空的几何弯曲。本章介绍造成时空弯曲的源头——能量—动量张量 \(T_{\mu\nu}\)，建立引力场方程，并给出宇宙中各组分的具体形式。

5.1 能量—动量张量

能量—动量张量包含三类基本的物理量。

第一是能量密度：单位体积内的能量，\(\varepsilon=dE/dV\)。这里的 \(E\) 包括静质量能 \(mc^2\)、动能 \(mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)\) 和相互作用能。对于静止介质，能量密度与质量密度只差一个因子：\(\varepsilon=\rho c^2\)。

第二是能流密度 \(\mathbf S\)：单位时间穿过单位面积的能量，方向即能量流动的方向。若介质以速度 \(\mathbf u\) 运动，则 \(\mathbf S=\varepsilon\mathbf u\)。与之等价的是动量密度 \(\mathbf g\)——单位体积内介质携带的动量。相对论中二者是同一物理量的两面，相差一个因子，见公式（5-1）：

\[
\mathbf g=\frac{\mathbf S}{c^2}. \tag{5-1}
\]

第三是应力：单位面积上介质内部相互作用的力，分为垂直于面的压强和平行于面的剪切应力。

能量—动量张量 \(T_{\mu\nu}\) 把这三类量组织成一个 \(4\times4\) 对称张量，共10个独立分量。按指标位置分为四块，各块的物理意义见表5-1。

表5-1 能量—动量张量的分块结构

分量	物理意义
\(T_{00}\)	能量密度 \(\varepsilon\)
\(T_{0i}=T_{i0}\)	能流密度（等价于动量密度）
\(T_{ii}\)（对角）	各方向的压强
\(T_{ij}\)（\(i\ne j\)）	剪切应力

\(T_{\mu\nu}\) 是二阶对称张量，且满足守恒律 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0\)——能量守恒与动量守恒在弯曲时空中的统一形式。

5.2 引力场方程

把几何一侧与物质一侧用等号连接，得到引力场方程（也叫爱因斯坦场方程），见公式（5-2）：

\[
G_{\mu\nu}=8\pi G\,T_{\mu\nu}, \tag{5-2}
\]

其中 \(G\) 为牛顿引力常数。等号左边是时空的曲率，右边是能量、动量与应力。Bianchi 恒等式保证两边的守恒律自动相容：\(\nabla^\mu G_{\mu\nu}=\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0\)。

按分量读，场方程把几何与源一一对应：\(G_{00}\) 对应能量密度，\(G_{0i}\) 对应能流密度（动量密度），\(G_{ij}\) 对应压强与应力。

如4.2节所述，方程左边还可以加上 \(\Lambda g_{\mu\nu}\) 项。加上之后，即使真空也能产生加速膨胀式的弯曲，这一项是解释现今宇宙加速膨胀的候选之一。

5.3 完美流体

完美流体指流体各向同性，既无能流也无剪切应力。能近似为完美流体有两个前提：其一，宇宙在大尺度上均匀且各向同性——小尺度上的星系、星系团等结构被平均掉，不存在特殊的流动方向和剪切；其二，流体元的尺度远大于粒子的平均自由程，粒子间相互作用足以维持局域平衡，黏滞和热传导可以忽略。两个前提不满足时近似失效，例如结构形成的小尺度上需要计入剪切，自由-streaming 的中微子会产生微小的各向异性应力。

在随流体运动的参考系（共动系）中，宇宙学中的组分（物质、辐射和暗能量）在背景层面可以近似为完美流体。

在完美流体中，\(T_{\mu\nu}\) 取最简单的对角形式：\(T_{00}\) 为能量密度 \(\varepsilon\)，三个空间对角元同为压强 \(p\)，其余分量全为零。整个张量只由两个函数决定：\(\varepsilon\) 和 \(p\)。

写成与坐标无关的形式，设流体四速度为 \(u^\mu\)（满足 \(u^\mu u_\mu=-1\)），则有公式（5-3）：

\[
T_{\mu\nu}=(\varepsilon+p)\,u_\mu u_\nu+p\,g_{\mu\nu}. \tag{5-3}
\]

在共动系中 \(u^\mu=(1,0,0,0)\)，上式即退化为上述对角形式。

要把场方程用于宇宙，需要了解宇宙学背景。观测表明，宇宙在大尺度上均匀且各向同性，其度规为 FLRW 度规，见公式（5-4）：

\[
ds^2=-dt^2+a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2)\right], \tag{5-4}
\]

其中 \(a(t)\) 是尺度因子，描述宇宙的整体膨胀；\(k=0,\pm1\) 是空间曲率；哈勃参数 \(H=\dot a/a\) 度量膨胀速率。宇宙中的流体在共动系中静止，共动观察者随膨胀一起运动。

把守恒律 \(\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0\) 应用于 FLRW 背景，给出连续性方程，见公式（5-5）：

\[
\dot\varepsilon+3H(\varepsilon+p)=0, \tag{5-5}
\]

它决定各组分的能量密度如何随膨胀演化。

5.4 辐射、物质与暗能量

不同组分的差别在于压强与能量密度的关系。定义状态方程参数，见公式（5-6）：

\[
w=\frac{p}{\varepsilon}. \tag{5-6}
\]

组分的 \(w\) 值可以从气体动理论统一推出。压强是粒子动量流的各向同性平均，见公式（5-7）：

\[
p=\frac{1}{3}n\langle\,\mathbf p\cdot\mathbf v\,\rangle, \tag{5-7}
\]

其中 \(n\) 是数密度，因子 \(1/3\) 来自三个空间方向的均分。

物质（尘埃）：由非相对论性粒子组成。对于单个粒子，\(\mathbf p\cdot\mathbf v=mv^2\)，它等于动能的两倍，因此由动理学可得压强等于动能密度的 \(2/3\)。然而，对于冷物质而言，介质的总能量密度几乎全部来自静质量能，动能仅占极小比例，因此 \(p\ll\varepsilon\)，\(w\equiv p/\varepsilon\approx0\)。由连续性方程公式（5-5）可知，\(\varepsilon\propto a^{-3}\)，即能量密度仅因宇宙体积膨胀而按 \(a^{-3}\) 稀释。

辐射：包括光子和相对论性中微子等相对论性粒子，其速度满足 \(v\simeq c\)。此时 \(\mathbf p\cdot\mathbf v=pc=E\)，于是 \(p=\frac13 n\langle E\rangle=\varepsilon/3\)，因此 \(w=1/3\)。由连续性方程公式（5-5）可知，\(\varepsilon\propto a^{-4}\)。相比于物质，辐射除了因宇宙膨胀导致数密度按 \(a^{-3}\) 稀释外，单个光子的波长还随尺度因子伸长；由于 \(E=h\nu=hc/\lambda\)，其能量按 \(a^{-1}\) 衰减，因此总能量密度满足 \(\varepsilon\propto a^{-4}\)。

暗能量：若暗能量是宇宙学常数 \(\Lambda\)，则它等价于一个满足 \(w=-1\) 的完美流体，\(p=-\varepsilon\)，其能量—动量张量为 \(T_{\mu\nu}=-\varepsilon g_{\mu\nu}\)。由连续性方程公式（5-5）可知，\(\varepsilon=\text{常数}\)，即随着宇宙膨胀，单位体积中的暗能量密度始终保持不变，因此总暗能量会随宇宙体积增加而增加。更一般的暗能量模型允许 \(w\) 偏离 \(-1\)，甚至随时间演化，这也是当前宇宙学观测的重要检验目标。

状态方程参数 \(w\) 的物理意义可以从宇宙加速度方程直接看出，见公式（5-8）：

\[
\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\,\varepsilon(1+3w). \tag{5-8}
\]

当 \(w\gt -1/3\) 时，引力占主导，宇宙膨胀减速；当 \(w\lt -1/3\) 时，负压足够大，宇宙膨胀加速。这说明，引力的来源不仅是能量密度，压强同样参与引力作用，而这一点正是广义相对论区别于牛顿引力的重要特征。

5.5 各宇宙组分的能量—动量张量

把三类组分汇总，见表5-2。

表5-2 宇宙各组分的能量—动量张量

组分	\(w\)	\(\varepsilon\) 随 \(a\) 的演化	\(T_{\mu\nu}\)（共动系）	对膨胀的作用
物质（重子、冷暗物质）	\(0\)	\(a^{-3}\)	\(\mathrm{diag}(\varepsilon,0,0,0)\)	减速
辐射（光子等）	\(1/3\)	\(a^{-4}\)	\(\mathrm{diag}(\varepsilon,\varepsilon/3,\varepsilon/3,\varepsilon/3)\)	减速
暗能量（\(\Lambda\)）	\(-1\)	常数	\(\mathrm{diag}(\varepsilon,-\varepsilon,-\varepsilon,-\varepsilon)\)	加速

各组分的 \(T_{\mu\nu}\) 相加后代入场方程，00分量给出弗里德曼方程，见公式（5-9）：

\[
H^2=\frac{8\pi G}{3}\sum_i\varepsilon_i-\frac{k}{a^2}, \tag{5-9}
\]

\(ij\) 分量给出加速度方程公式（5-8）。宇宙的整体演化，就是表5-2中的组分按各自的 \(\varepsilon(a)\) 此消彼长的历史：早期辐射主导，随后物质主导，今天暗能量开始主导。

---

第六章 从引力场方程到万有引力

引力场方程 \(G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) 是抽象的。本章做两件事：先看引力的源头在具体情形下简化成什么，再看这个方程在弱场低速下如何退回为我们熟悉的万有引力。

6.1 引力源头的简化

例一：宇宙学背景。在背景层面上（指大尺度平均，区别于扰动），宇宙均匀且各向同性，\(T_{\mu\nu}\) 只剩下能量密度和压强两个函数。引力的源头简化为 \(\rho\) 和 \(p\)：它们通过弗里德曼方程共同决定宇宙的膨胀。

例二：普通物质。对于非相对论性的普通物质，热运动压强远小于静质量能密度，\(p\ll\rho c^2\)。而 \(\rho c^2=dE/dV\) 中的 \(E\) 又主要来自静质量能 \(mc^2\)。于是源头进一步简化：能量密度即质量密度，引力的源头就是质量。

牛顿引力只认质量为源，正是因为它描述的是这一极限情形。

6.2 Weyl 张量：场方程之外的信息

3.3节的 Weyl 张量不出现在场方程中，它不由当地物质决定，可以在真空中存在和传播。因此，能量—动量张量决定局部时空如何弯曲，Weyl 张量决定这种弯曲在没有物质的区域如何表现。本章接下来讨论的牛顿极限，只涉及曲率的 Ricci 部分。

6.3 弱场低速极限：泊松方程

本章恢复显式的 \(c\)，场方程写为公式（6-1）：

\[
G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}. \tag{6-1}
\]

考虑弱场、低速、静态分布的物质：度规偏离平直度规一个小量，其中时间分量为公式（6-2）：

\[
g_{00}=-\Bigl(1+\frac{2\Phi}{c^2}\Bigr),\qquad |\Phi|\ll c^2, \tag{6-2}
\]

\(\Phi\) 即牛顿势；物质低速使 \(T_{00}=\rho c^2\) 在能量—动量张量中占绝对主导（能流和压强分别带着 \(v/c\) 和 \(v^2/c^2\) 的压低）；静态使所有时间导数为零。

此时场方程公式（6-1）的00分量化为公式（6-3）：

\[
G_{00}\approx\frac{2}{c^2}\nabla^2\Phi=\frac{8\pi G}{c^4}\,\rho c^2, \tag{6-3}
\]

即泊松方程，见公式（6-4）：

\[
\nabla^2\Phi=4\pi G\rho. \tag{6-4}
\]

这正是牛顿引力的泊松方程。牛顿引力不是与场方程并列的另一套理论，而是它的一个分量在弱场、低速、静态极限下的样子。

6.4 万有引力定律

设质量 \(M\) 集中在原点：\(\rho=M\delta^3(\mathbf x)\)。原点之外区域泊松方程化为 \(\nabla^2\Phi=0\)，球对称解在无穷远 \(\Phi\to0\) 的条件下为公式（6-5）：

\[
\Phi=-\frac{GM}{r}. \tag{6-5}
\]

另一方面，弱场低速下的测地线方程给出检验粒子的运动方程，见公式（6-6）：

\[
\ddot{\mathbf x}=-\nabla\Phi. \tag{6-6}
\]

代入点质量的势公式（6-5），得公式（6-7）：

\[
\ddot{\mathbf x}=-\frac{d\Phi}{dr}\hat{\mathbf r}=-\frac{GM}{r^2}\hat{\mathbf r}. \tag{6-7}
\]

两边乘以检验粒子的质量 \(m\)，得公式（6-8）：

\[
\mathbf F=m\ddot{\mathbf x}=-\frac{GMm}{r^2}\hat{\mathbf r}. \tag{6-8}
\]

万有引力定律出现了：平方反比，负号表示吸引。引力常数 \(G\) 在场方程中的位置 \((8\pi G/c^4)\)，正是为了让这个极限与牛顿力学无缝对接。

6.5 自由落体与支持力

最后回到物理图像。由 \(g_{00}\) 的形式，静止钟的固有时满足公式（6-9）：

\[
d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt\approx\Bigl(1+\frac{\Phi}{c^2}\Bigr)dt, \tag{6-9}
\]

\(\Phi\) 越低（越低处），钟走得越慢——这就是引力时间膨胀。

测地线是固有时取极值的路径。苹果落地，是因为它所经空间不同位置的时间流逝速率不同：沿弯曲时空的测地线自由下落，正是它“最省时间”（固有时最大）的走法。自由下落的苹果感受不到任何力——等效原理保证了这一点。

而你站在地面上感受到的支持力，是迫使你偏离测地线的加速度。你称之为“重量”的东西，不是引力在拉你，而是地面在推你。

至此，从第一章的曲率到苹果落地，链条全部闭合：物质决定 Ricci 曲率，曲率规定测地线，测地线即自由落体的轨迹——引力不是力，是时空的几何。